【摘 要】
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本文主要针对利用有限差分法求解一维G-热方程的问题进行研究,提出了不同的数值差分格式并通过数值算例分析了各格式求解精度.注意到G-热方程形式为变系数抛物方程,因此,本文首先回顾了求解常系数抛物方程常用的有限差分格式以及各格式的稳定性条件.包括向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式（Crank-Nicolson格式）、三层显格式（Richardson格式）与三层隐格式,然后探究如何将上述格式应用于
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本文主要针对利用有限差分法求解一维G-热方程的问题进行研究,提出了不同的数值差分格式并通过数值算例分析了各格式求解精度.注意到G-热方程形式为变系数抛物方程,因此,本文首先回顾了求解常系数抛物方程常用的有限差分格式以及各格式的稳定性条件.包括向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式（Crank-Nicolson格式）、三层显格式（Richardson格式）与三层隐格式,然后探究如何将上述格式应用于求解G-热方程.将常系数抛物方程的有限差分格式应用于G-热方程时,向前差分格式与三层显格式可直接用于求解,而其余三种隐格式应用求解时,由于G-热方程的二阶项系数与二阶项本身的正负有关,致使迭代系数无法直接求得,进而导致无法进行计算.因此本文创新性地对隐格式中迭代系数的形式进行改进,提出了用于求解G-方程的向后差分格式（半隐式）、六点对称格式（半隐式）与三层隐格式（半隐式）.基于Fourier方法与von Neumann条件衍生的稳定性判别准则,本文分别推导出了所提各格式的稳定性条件:1.向前差分格式在网比rmax=σ2τ/2h2≤1/2时稳定;2.向后差分格式（半隐式）、六点对称格式（半隐式）与三层隐格式（半隐式）对任意网比恒稳定;3.三层显格式（Richardson格式）对任意网比恒不稳定最后,本文利用上述四种稳定的格式分别对初值为连续函数φ（x）=（x+a）3与初值为离散示性函数φ（x）=I{x>α}、φ（x）=I{x<α}、φ（x）=I{|x|>a}的G-热方程进行求解.分析各格式求解的误差数据可以得到如下结论:1.向前差分格式与Hu和Jiang[15]使用的三叉树方法具有相同求解误差阶;2.三层隐格式（半隐式）与六点对称格式（半隐式）求解的精度高于向后差分格式（半隐式）与向前差分格式,且随时间步长的增加,各格式数值解的求解精度都有显著提高;3.四种格式求解初值为φ（x）=I{|x|>a}的G-热方程时,在误差范围内,数值解均满足真解的渐进不等式.基于上述结论,本文建议解决新的数值计算问题时,可优先考虑使用精度较高的三层隐格式（半隐式）与六点对称格式（半隐式）.
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