在计算机和数字技术迅速发展的今天，数字图像已成为存储和传递视觉信息的重要方式。就数字图像而言，空间分辨率和图像信噪比是衡量数字图像质量的重要标准。在实际应用中，用户总是希望能够得到干净的、分辨率高的图像。然而在实际成像过程中，由于受到采样模糊、运动模糊、成像环境和噪声等因素的影响，人们往往难以获得满意的高分辨率图像，这也给后续的图像处理和分析带来了诸多困难，影响了人们对客观世界的正确理解和认识。因此，如何基于现有低质量图像恢复或重构出高分辨率图像，改善图像质量，成为图像处理领域具有挑战性的课题和相关图像应用的迫切需求。近年来，稀疏表示理论备受关注，并已成功地应用于图像去噪和图像超分辨率重构领域中。通过选用或设计合适的过完备字典对图像进行稀疏表示，可以简洁地表达图像，同时有效地提取图像本质的特征。本文以信号的稀疏表示理论为研究主线，基于此对图像去噪、单幅图像超分辨率重建技术中的关键问题进行了相关研究，主要研究内容与贡献有：（1）阐述了图像的稀疏表示问题，包括稀疏建模、稀疏度测量、信号非相干性和稀疏表示问题的优化算法等。简述了基于稀疏表示理论的低秩矩阵稀疏分解问题和字典学习训练问题的相关算法。（2）提出基于低秩矩阵稀疏分解的图像去噪方法，将分解得到的图像低秩部分作为预去噪图像，同时融合对图像稀疏部分进行中值滤波得到的高频纹理信息，最终获得去噪图像。该方法在去除低密度椒盐噪声的同时，有效地保留了图像的高频纹理信息，并为图像去噪算法提供了新的思路，PSNR值较一般去噪算法提高了约3～5dB。（3）提出对含噪图像进行分区预处理的去混合噪声的P_BM3D方法，解决了BM3D去噪方法在去除椒盐噪声方面的区域不适性。P_BM3D方法通过对含噪图像的深、浅区域划分，在不损失图像有效信息的前提下，去除了深色区域的“盐”噪声和浅色区域的“胡椒”噪声，使得后续BM3D去噪算法能够有效地开展。该方法在混合噪声的处理上呈现了优良的去噪性能，PSNR值较一般去噪算法提高了4～7dB。（4）提出一种将低秩矩阵稀疏分解用于自适应字典去噪的后处理方法，解决了自适应字典学习去噪算法无法去除椒盐噪声的问题，提高了自适应字典学习算法在去噪方面的适应性。该方法针对自适应字典学习去噪算法在去除混合噪声时将椒盐噪声作为图像细节保留的问题，对自适应字典学习方法去噪后的图像进行低秩稀疏分解以滤除椒盐噪声，去噪后PSNR值较原方法提高了1～10dB。（5）提出一种基于样本块相似性判断的样本集构建方法，针对单幅图像字典学习超分辨率重构算法存在样本块集构建的低效问题，通过设置阈值，计算预增样本块与已有样本块之间的欧氏距离，保证新增样本块的结构异性，提高了整个样本块集的有效性和多样性。在预设样本块数目相同的情况下，字典训练时间降低为原方法的50%左右，改善了图像的重构质量。（6）提出基于低秩稀疏分解的改进字典学习超分辨率重构算法，解决了字典训练效率低下和重构图像边缘存在小块效应的问题。算法使用IALM方法分解整幅样本图像得到图像低秩部分和图像稀疏部分，对两部分进行样本块划分构造高低样本块集合；采用改进的K-SVD算法用于字典更新，同时结合OMP算法和系数重用CoefROMP算法进行稀疏系数的求解和图像的重构。实验结果表明该方法有效地解决了重构图像的边缘块问题，在提高字典的训练效率的同时，改善了图像的视觉效果。综上所述，本文以信号的稀疏表示为理论基础，在图像去噪和图像超分辨率重建两个方面进行了算法的相关研究和创新。提出的算法有效地克服了现有方法的不足，在低质图像恢复方面增强了相关算法的适用性，同时为数字图像处理相关方向的研究拓展了新的思路。