泛函微分代数方程是由泛函微分方程与代数方程耦合而成的一类复杂方程,也被称作泛函微分与泛函方程,在自动控制领域,也被称作时滞混合系统.中立型微分方程可视作为这类方程的特殊形式,且这类方程在物理学、模拟化学、电力和电路分析、多体动力学、生物医学、自动控制、材料学、金融学等领域中有着极其广泛的应用.与不带延迟的微分代数方程相比,带延迟的微分代数方程往往能够更加准确地描述自然界客观事物发展的变化趋势.一般情况下,这类方程的精确解难以得到,所以我们需要借助高效的数值算法来获得这类方程的数值解,并以此逼近方程的精确解.迄今,国内外仅有少量文献涉及非线性泛函微分代数方程的数值算法研究,如线性多步法、单支方法、Runge-Kutta法、一般线性多步法.然而,线性多步法无法兼并高精度与良好的稳定性,且存在Dahlquist阶障碍,Runge-Kutta方法虽然可同时具有高精度性与良好的稳定性,但是其求解大规模问题的计算开销很大.事实上,在常微分方程的数值计算中,有一类由意大利知名数学家Brugnano和Trigiante提出的高效边值方法及由此导出的块边值方法,其建立在线性多步法的基础上,不仅克服了线性多步法的Dahlquist阶障碍,而且同时具有良好的稳定性和优秀的计算精度,还适用于大规模问题的计算及并行计算,随着这类方法的不断拓展,其已经广泛被用于数值求解常微分方程初边值问题、线性微分代数方程、Hamilton问题、偏微分方程、Volterra积分微分方程等各类离散型与分布型延迟微分方程.而据我们最大限度所查已有文献可知,迄今还没有研究者将这类方法应用于非线性泛函微分代数方程的数值求解中.鉴此,本文将填补这一空白,将拓展块边值方法来数值求解三类非线性泛函微分代数方程–具常延迟的非线性泛函微分代数方程、具分段连续变元的非线性泛函微分代数方程和具分布型延迟的非线性泛函微分代数方程,最后,再将其与紧致差分法结合,即紧致块边值方法,被用以数值计算具代数约束的半线性延迟反应扩散方程.本文结构如下:第一章首先介绍了泛函微分代数方程的由来、应用背景和研究现状,接着介绍了基本块边值方法的思想,最后概述了本文的研究成果.第二章首先构造了具常延迟的非线性泛函微分代数方程的块边值方法的数值格式,接着证明了在适当条件下该方法是唯一可解的、全局稳定的和p阶收敛的,这里p是基本边值方法的相容阶.最后,借助于数值算例,我们验证了该计算方法的有效性和理论结果的正确性.第三章首先构造了具分段连续变元的非线性泛函微分代数方程的块边值方法,然后证明了在适当条件下该数值方法是唯一可解的、全局稳定的和p阶收敛的,这里p是基本边值方法的相容阶.最后,数值算例阐明了该计算方法的高精度性和相关理论结果的正确性.第四章研究了针对具分布型延迟的非线性泛函微分代数方程的块边值方法.我们首先建立了基于基本边值方法的积分规则,然后针对具分布型延迟的非线性泛函微分代数方程,构造了在该积分规则下的拓展的块边值方法,紧接着证明了在适当条件下该数值方法是唯一可解的、全局稳定的和p阶收敛的,这里p是基本边值方法的相容阶.最后,借助于数值算例,我们阐释了基于基本边值方法的积分规则下的拓展的块边值方法的计算有效性和相关理论结果的正确性.第五章研究了具代数约束的半线性延迟反应扩散方程的紧致块边值方法.该方法是结合紧致差分法和块边值方法,分别用于空间方向离散和时间方向离散.在适当的条件和合理的假设下,我们证明了紧致块边值方法是全局稳定的,且在空间方向上具有四阶精度和在时间方向上具有p阶精度,其中p是基本边值方法的相容阶.最后,通过用此方法来数值计算具有延迟和代数约束的Fisher方程,我们进一步阐释了紧致块边值方法的计算有效性和相关理论结果的正确性.最后一章对本文工作做了简要总结,并阐述了未来值得进一步研究的相关问题.