在科学和工程计算中,无界区域上偏微分方程的边值问题广泛存在.因为区域无界,通常求解微分方程的数值方法如有限元、差分等方法会遇到很多困难,并不适用.因此开始新出现一些计算方法,如无限元法、边界元法等.边界元方法是一种将经典边界积分方程法作为基础,并吸收了有限元离散技术的偏微分方程数值解法.我国的学者冯康和余德浩首创并发展了自然边界元法,该方法相比于经典边界元法有着自身独特的优点,能够精确有效地解决无界区域问题.近年来,非线性问题也是备受关注,具有特殊性质的非线性算子的拟线性和非线性问题也开始被广泛研究.本文根据自然边界归化原理,探讨了无界区域拟线性方程边值问题的几种数值解法,一共分为五章:第一章介绍了自然边界元法发展历程和国内外研究现状,Sobolev空间的相关知识.第二章详细解释了拟线性问题自然边界元法的原理,并给出典型域上的Poisson积分公式以及自然积分方程,包括上半平面区域,圆内区域(单位圆、半径为R的圆),圆外区域(单位圆、半径为R的圆),椭圆区域,圆弧或者裂缝区域,椭圆弧区域.再以上半平面为例,给出了Poisson积分公式以及自然积分方程三种求解方法,最后对其自然积分算子以及自然积分方程进行了深入的研究.第三章主要研究了各向异性的拟线性问题,具体方法是自然边界元与有限元耦合法,根据边界归化原理求得人工边界的自然积分方程,再转化为相应的变分问题并进行有限元逼近,之后又证明了近似解的收敛性,最终给出两个数值例子来说明该方法的有效性.第四章主要研究了半无界区域的拟线性方程问题,具体方法是非重叠区域分解算法,根据自然边界归化原理求得人工边界上的自然积分方程,再将相应交替算法给出,之后进行算法的离散化,分析其收敛性,之后给出算法收敛速度与有限元网格大小无关以及D-N算法等价于预处理的Richardson迭代算法的证明,最后选取两个数值例子表明该方法的有效性.第五章主要概括了本文的研究成果以及展望.