本文主要讨论了分岔理论与同步理论在生态模型、神经元模型以及轮对模型中的应用.对于生态模型,采用向前欧拉格式对连续的具有Allee效应的捕食者-食饵模型进行离散化得到了相应的离散模型,主要研究了离散系统的三种余维1分岔.对于神经元模型,主要讨论了电耦合下的混沌Rulkov神经元的簇放电同步行为与分岔表现.对于机车轮对模型,借助于Matcont软件,研究了平衡点的分岔以及极限环的分岔.本论文的结构如下:第一章绪论主要介绍了非线性动力系统的主要研究内容,阐述了种群生态模型、神经元模型以及轮对模型的研究意义与发展现状.第二章主要介绍了所研究模型的背景知识与本论文相关的概念、定理与命题等.第三章利用向前欧拉格式对一类具有Allee效应的连续捕食者-食饵模型进行离散化得到了相应的离散模型,利用中心流形定理与规范场理论,推导了 fold分岔,flip分岔以及Neimark-Sacker分岔的规范型.讨论了积分步长对分岔行为的影响,比较了连续系统与离散系统动力学行为的异同.对模型的强弱两种Allee效应下的分岔结构进行了比对.第四章研究了两个异质的(heterogeneous)混沌Rulkov神经元在电耦合下的动力学行为.首先,分析了在不同的耦合强度下一个神经元对另一个神经元动态行为的影响和改变能力.其次,讨论了在三种不同的组合形式下两神经元达到同相簇放电同步与反相簇放电同步的耦合条件.最后,探讨了簇放电同步、峰放电同步与完全同步之间的转迁.证实了两个簇放电神经元在耦合强度足够强时可以达到峰放电同步,而在任意强的电耦合下都达不到完全同步.第五章对两异质混沌Rulkov神经元的电耦合模型进行进一步探讨,研究了余维1的flip分岔与Neimark-Sacker分岔以及余维2的flip-Neimark-Sacker分岔.推导了各个分岔的规范型,分析了规范型对初值及分岔点的局部依赖性,找到了一种新的放电模式—在两个不变环之间交替跳跃.当参数远离flip-Neimark-Sacker分岔点时,两个对称的多重心形环放电模式出现.最后对参数平面进行划分,得到了不同放电模式的参数分布图.第六章研究了单个非线性轮对模型的分岔表现,讨论了平衡点O的Hopf分岔以及退化的Hopf分岔,并给出了相应的分岔曲线.借助于Matcont软件,进一步探讨了极限环的fold分岔、pitchfork分岔、flip分岔以及Neimark-Sacker分岔,并给出了极限环的分岔曲线以及分岔曲线上的强共振点.最后就某个非线性系数对极限环的分岔结构的影响进行了分析.