在可积系统的研究中,寻找可积系统的可积耦合及其哈密顿结构是两个非常重要的研究课题。本文围绕这两个主题分别研究了可积系统、分数阶可积系统的可积耦合以及二次型恒等式、分数阶二次型恒等式和分数阶超迹恒等式的应用。第一章为绪论,主要介绍常用的两种可积性的定义,可积性的拓展以及本文所做主要工作。第二章研究同时利用扩充等谱问题的方法,构造新的圈代数方法和半单直和李代数方法,以达到获得C-Kd V族可积耦合的目的,推导出一系列新的方程族。在新的loop代数的作用下,利用二次型恒等式,构造了C-Kd V族可积耦合的bi-Hamilton结构。第三章以分数阶微积分理论为基础,利用扩充等谱问题和loop代数的有效方法,获得分数阶耦合Burgers族的分数阶可积耦合。并应用分数阶二次型恒等式,由此推导出分数阶耦合Burgers族的分数阶可积耦合的bi-Hamilton结构。第四章研究在分数阶导数与微分理论的背景下,应用修正的Riemann–Liou–ville导数给出分数阶超可积系统的生成理论,推出分数阶超Yang族。利用分数阶超迹恒等式得到其相应的超Hamilton结构。