设图G=(V，E)是一个非平凡的连通图，在G上定义一个迈染色c:E→{1，2，…，t}，t∈N，其中相邻的边可以染相同颜色。称图G的一条路是彩虹路，如果这条路上的任意两条边均染不同颜色。如果在图G的任意两个顶点间都存在一条彩虹路，我们就称图G是彩虹连通的。　　对于一个连通图G，保证它是彩虹连通所需的最少颜色数就是G的彩虹连通数，记为rc(G)。这个概念是由Chartrand等人在2008年提出来的。彩虹连通不仅是一个自然的组合概念，而且在网络中也有着重要的应用。事实上，它的提出起源于政府机构之间的信息安全传递。当在机构之间传递信息时，一方面我们希望所用的密码个数足够得少以便于管理;另一方面，我们又需要足够多的密码，使得任何两个机构之间至少存在一条信息安全路（路的不同段分配不同密码），以防止入侵者破坏。这个信息传递网络可以用图来表示。如果用边染色表示密码，那么最少的密码个数就是图的彩虹连通数。　　Chartrand等人将彩虹路的概念进一步推广至彩虹树。设图G=(V，E)是一个非平凡的连通图，在G上定义一个边染色，其中相邻的边可以染相同颜色。称图G的一棵树是彩虹树，如果这棵树的任意两条边均染不同颜色。给定S∈V，一棵彩虹S-树就是一棵连接S中所有点的彩虹树。给定一个整数k，满足2≤k≤n，图G的边染色称为k-彩虹染色，如果对于任意k元点子集S，G中均存在一棵彩虹S-树。此时，称G是k-彩虹连通的。　　每个连通图G都有一个平凡的k-彩虹染色:选取G的一棵生成树T并赋予T的每条边不同的颜色。对于一个连通图G，保证G有k-彩虹染色所需的最少颜色数，称为G的k-彩虹指数，用rxk(G)表示。显然，当k=2时，rx2(G)即为彩虹连通数rc(G)。　　受彩虹树概念的启发，借助于图的树分解，Chartrand等人又提出了广义连通度的新概念。给定S∈V，满足|S|≥2，一棵S-斯坦纳树或连接S的斯坦纳树定义为G的一个子图T(V，E)，它满足T（V，E）是一棵树，并且S∈V。如果两棵S-斯坦纳树T1和T2满足E（T1）∩ E（T2）=φ和V（T1）∩ V（T2）=S，则称T1和T2是内部不交的。对于S(∈)V，广义局部连通度κ(S)就是G中连接S的内部不交斯坦纳树的最大数目。给定一个整数k，满足2≤k≤n，图G的广义k-连通度定义为κk(G)=min{κ(S)| S∈V,|S|=k}。显然，当|S|=2时，κ2(G)就是图G的连通度κ(G)。　　对应广义连通度的概念，Li等人在2014年提出了广义边连通度的概念。如果两棵S-斯坦纳树T1和T2满足E（T1）∩ E(T)=φ，则称T1和T2是边不交的。对于S(∈)V，图G的广义局部边连通度λ(S)就是G中连接S的边不交斯坦纳树的最大数目。给定一个整数k，满足2≤k≤n，广义k-边连通度定义为λk(G)=min{λ(S)| S(∈)V,|S|=k}。　　本文包括两部分。第一部分包含第2、3、4章，主要研究图的彩虹指数。第二部分包含第5、6章，主要研究图的广义（边）连通度。　　在第一章中，我们介绍了彩虹连通数，彩虹指数和广义（边）连通度的定义和背景，同时给出了本文需要用到的一些符号和禾语。我们还罗列了关于彩虹指数和广义（边）连通度的一些结果，其中包括本文的主要研究成果。　　对于任意图，我们要得到它的k-彩虹指数的精确值是困难的。这就启发我们去探究k-彩虹指数上、下界的问题。最小度δ(G)是一个重要的图参数，因此研究rxk(G)与最小度的关系就显得非常有意义。在第二章中，我们通过Szemerédi正则引理和连通2-步控制集两种方法给出了rxk(G)的与δ(G)相关的上界。　　在第三章中，我们对具有某些图性质的图的3-彩虹指数进行研究。首先，我们确定了边数为m，且3-彩虹指数分别为m、m-1、m-2或2的图。其次，我们得到了完全等部多部图和轮图的3-彩虹指数的精确值。最后，我们给出2-（边）连通图3-彩虹指数的紧的上界。　　在第四章中，我们对图的k-彩虹指数的刻画问题进行研究。Chartrand等人证明了n个点的树的k-彩虹指数为n-1以及n个点的单圈图的k-彩虹指数为n-1或n-2。另外，一个n阶图的k-彩虹指数的平凡上、下界分别为n-1和k-1。于是一个有趣的问题应运而生:刻画k-彩虹指数为k一1，n-1和n-2的n阶图。对一般的k，该问题不太容易解决。在这一章中，首先针对k=3的情形，我们刻画了3-彩虹指数分别为n-1和n-2的n阶图。接着对k=4的情形，我们刻画了4-彩虹指数分别为3和n-1的n阶图。　　Bollobás提出了如下问题:确定具有n个顶点且最大局部连通度至多为l的图的最大边数f（n;(κ)≤l）。进一步地，Li等人研究了具有n个顶点且至多有两棵内部不交斯坦纳树连接任意三个顶点的图的最大边数f（n;(κ)3≤2）。在第五章中，我们研究了具有n个顶点且恰好有一棵斯坦纳树连接任意k个顶点的图的最大边数f（n;(κk)=1）。当k=3，4，n时，我们分别给出了f(n;(κk)=1)的精确值，并且刻画了取到这些值的图类。　　图积是一种重要的从小图构造大图的方法，因此它在网络设计和分析中有着许多重要的应用。积图的广义（边）连通度已被广泛研究并获得许多结果。两个图G和H的字典积，记为GoH，是一种常见的图积。在第六章中，我们着重研究GoH的广义3-边连通度，并得到了它的紧的上、下界。