本文研究公司管理中的到期日是有限时间的最优转换、最优破产、最优维修和投资问题.从数学上看，上述问题都可以转化为一个抛物变分不等式，同时也是一个自由边界问题.在到期日之前，公司的持有者可以根据具体情况（如时间和公司资产价值）来确定在何时转换、分红、投资和维修才能使公司的收益最大.其收益和实施条件分别对应着自由边界问题的解和自由边界.所以通过对自由边界问题的解和自由边界性质的研究，对认识和指导现实中的金融行为具有重要的实际意义，比如:单调性可以刻画公司收益和最佳实施条件随时间的变换趋势，正则性影响着数值方法的选取和计算误差的估计.　　本学位论文的第一章首先回顾了公司管理中的自由边界问题的研究历史及相关进展，并概述了本文得到的主要结果.　　第二章中，在债权换股权框架下，研究了到期日是有限时间的最优转化问题.首先建立公司股价价值的数学模型，它是一个抛物变分不等式，也是一个自由边界问题，其中的自由边界就是对应的最优转换边界.证明了强解的存在唯一性，并得到了相应的估计.然后研究了自由边界的性质，当c(1-γ)-rp≤0时，证明了自由边界是单调递减、无穷次可微的，并得到了其上、下界.当c(1-γ)-rP＞0时，自由边界是光滑有界的，但是在某些情况下是不单调的.最后求出了数值解，验证了前面证明的结论，并给出了金融解释.　　第三章中，研究了到期日是有限时间的考虑分红策略的最优破产问题，研究如何制定最优分红策略和破产策略才能使公司的资产价值最大.首先建立数学模型，它是一个不连续系数的抛物变分不等式，也是一个自由边界问题，其中自由边界对应公司的最佳破产边界.证明了强解的存在唯一性，并得到了最优分红策略.然后研究了自由边界的性质，例如单调性，光滑性、有界性等.最后求出了数值解，并给出了金融解释.　　第四章中，研究了到期日是有限时间的带维修费的最优投资问题，研究如何制定最优投资和维修策略才能使公司的收益最大.首先建立数学模型，它是一个带梯度约束的抛物变分不等式，也是一个自由边界问题，含有两条自由边界，分别对应着最优投资和最优维修边界.首先证明了强解的存在唯一性.然后证明了最优投资边界是单调递增的连续有上界的，并研究了无穷远点的情况.另外，我们还研究了最优维修边界的性质，最后证明实证定理并得到了最优维修和投资策略.