本文应用高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理研究混合型弱耦合Hamilton系统的周期解的存在性与多解性问题.包括如下三个问题:一、超线性与跨共振点混合的耦合系统周期解的存在性与多解性二、无穷远处快速盘旋与慢速盘旋混合的耦合系统周期解的存在性与多解性三、原点附近超线性与次线性混合的耦合系统周期解的存在性与多解性应用Poincar(?)-Birkhoff扭转定理研究平面Hamilton系统的周期解的存在性与多解性已经有了很多重要的成果.但另一方面,人们更关心高维Hamilton系统的相应成果.以往的文献有一些Poincar(?)-Birkhoff扭转定理可能的高维推广,但没有本质的改进.最近,A.Fonda和A.J.Urena证明了高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理的微分方程的形式.他们的研究团队应用高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理证明了很多同类型方程耦合的Hamilton系统的周期解的存在性与多解性.同类型方程耦合的处理方法上对每个分支方程的相平面分析是比较一致的,但是混合型的耦合系统对每个分支方程的相平面分析不仅相互牵制,而且面临的困难也各不相同,所以Fonda等的处理方法对于其他类型的耦合系统就失效了.如何应用高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理证明混合型的耦合系统周期解的存在性和多解性就是本文研究的出发点.本文首先考虑耦合系统的解在每个耦合相平面的解分支的盘旋性质.通过分析解的盘旋性质就可以考察当解的径向变化时极角的变化.我们将证明在一定条件下,每个耦合相平面的解分支是盘旋地趋于无穷.本文第一个问题研究超线性与跨共振点混合的耦合系统,遇到的困难在于超线性条件会导致相应的解分支不一定是全局存在的,所以需要利用解分支在一定时间段内的盘旋性质证明在某个有限区域内解分支已有足够的旋转性,从而在极径充分大的地方改造系统使满足解的全局存在性.这类改造不影响原系统的扭转性的讨论.再结合跨共振部分解的振荡性的讨论,可以证明新系统的每个解分支在2mπ时间内在相应相平面上可产生足够的扭转.从而构造合适的环域应用高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理证明新系统的周期解的存在性和多解性,然后利用所得周期解的角度特性说明得到的就是原系统的周期解.本文的第二个问题研究快速盘旋与慢速盘旋混合的耦合系统,此时在快速盘旋部分和慢速盘旋部分遇到的困难是不一样的.在快速盘旋部分,解有可能不是全局存在的,所以需要利用解的快速旋转给出具有一定数目零点的解的先验估计,从而在极径充分大的地方改造系统使满足解的全局存在性但又不影响原系统的旋转性分析.慢速盘旋部分解的全局存在性没有问题.但解是慢速旋转的,在2π时间周期内所产生的扭转很弱.所以必须考虑2π时间段的扭转.如果m很大时解会跑向相应相平面的原点,扭转环域仍然很难确定.需要分析解分支的盘旋性质在相应相平面的原点附近对慢速盘旋部分改造系统.再应用高维的Poincar(?)-Birkhoff扭转定理证明系统的周期解的存在性与多解性.本文的第三个问题研究原点附近的混合型弱耦合Hamilton系统.原点附近的相平面分析更为精细.我们首先证明在严格的符号条件和弱耦合条件下解分支在相应相平面上的盘旋性质.但是仅有原点附近的条件我们并不清楚解的全局存在性.为此我们不仅对超线性分支假设拟线性条件,而且需要根据次线性解分支的盘旋性质在相应相平面的原点附近改造系统.在适当变换证明第二个问题的研究思路后我们可以证明关于原点附近的超线性与次线性混合的弱耦合Hamilton系统周期解的存在性和多解性.