变阶数分数阶微积分是常数阶分数阶微积分的延伸和推广,其阶数不再仅仅限于常数,可以是一个依赖时间或空间变量的函数。变阶数分数阶微积分在很多方面与常数阶分数阶微积分有很大区别。变阶数分数阶微分方程已被越来越多的用于物理、控制、信号过程等方面的建模。由于变阶数分数阶导数的存在,使得解析求解变得十分困难,因此发展有效的数值方法显得尤为重要。本文构造和分析了几类变阶数分数阶微分方程初值问题的单步谱配置法和hp型谱配置法。第一章叙述分数阶微积分和变阶数分数阶微积分理论的研究背景、发展历史和研究现状,回顾分数阶微分方程谱配置法的研究进展,列出分数阶微积分的基本定义、引理以及谱配置法的基本理论,简要介绍本文研究的主要内容。第二章研究一类拟线性变阶数分数阶微分方程的单步Legendre谱配置法。利用Banach压缩映像原理、Schaefer不动点定理和Gronwall-Bellman引理,给出了解存在唯一的充分条件。利用两层Legendre-Gauss插值,构造了适当的谱配置法,详细分析了格式的收敛性,获得了格式在L~2和L∞范数下的误差。最后用数值算例验证了方法的谱精度。第三章研究一类非线性变阶数分数阶微分方程的单步Legendre谱配置法。利用Weissinger不动点定理和Gronwall-Bellman引理,得到了解存在唯一的充分条件。针对弱奇异解,利用两层Legendre-Gauss插值,构造了含有光滑参数的谱配置法,给出了参数的上界,详细分析了格式在L~2和L∞范数下的误差。最后通过数值算例验证了方法的有效性。第四章研究一类具有多个变阶数导数的Caputo分数阶微分方程的hp型谱配置法。利用Banach压缩映像原理和Schaefer不动点定理,得到了解存在唯一的充分条件。利用分数阶算子的性质,将原微分方程转换为积分方程,然后,利用移位的Jacobi多项式和移位的Legendre多项式,构建了积分方程的hp型Legendre-Jacobi谱配置法,详细分析了光滑解在任意网格下和弱奇异解在拟一致网格下hp型谱配置法的误差,并且通过数值算例验证了方法的有效性。第五章研究一类具有变阶数导数的Riemann-Liouville分数阶微分方程的hp型谱配置法。利用Weissinger不动点定理和Gronwall-Bellman引理,给出了解存在唯一的充分条件。利用移位的Legendre多项式,构造了方程的hp型Legendre谱配置法,详细分析了格式在H~1范数下的hp型误差。最后通过数值算例验证了方法既可以加密网格,也可以增加局部逼近多项式的次数来提高精度。第六章总结与展望。归纳总结本文研究的主要工作和创新点,并对未来的研究工作进行展望。