近年来，声子晶体中弹性波的传播得到了广泛的关注和研究。开始这方面的研究大量是关于声子晶体完全禁带的，频率位于禁带内的弹性波完全不能通过声子晶体，这一性质具有大量的应用；随后，随着光子晶体研究领域负折射研究的兴起，有关负折射现象的研究也成为声子晶体研究的热点。另一方面，声子晶体第一条禁带以下的频率部分也有很好的应用前景，本文对声子晶体中低频弹性波传播现象进行了研究。 在低频部分，由于波动传播时一个波长会经历多个晶格周期，波“看”不到声子晶体中的散射体，此时非均匀性周期介质中的弹性波传播同在均匀性介质中的传播相似。长期以来，大量学者对非均匀性介质的有效介质理论进行了研究，但其无法准确地描述声子晶体中弹性波的传播；另外也有较多的学者对声子晶体中低频标量波进行了研究，同样这些理论也无法应用到对弹性波(矢量波)的研究。 对于一般以固体介质作为基体的声子晶体，通过声子晶体的波动一般情况下存在三个相互耦合的波动模式，此时的研究要比相应的标量波复杂得多。本文利用平面波展开法和低频极限方法首先推导了二维声子晶体低频极限时弹性波传播有效速度的精确解析公式，我们的理论兼顾到周期拓扑结构以及多重散射效果对有效参数的影响，克服了以前的一些相应理论在处理矢量波传播时的缺点。通过计算PVC基体含正方形晶格排列的圆柱孔材料的慢度曲线，发现我们的理论得出的结果与运用有限元方法计算得出的结果具有很好的一致性。数值仿真结果显示声子晶体具有各向异性的特点，我们研究了材料常数、填充率以及晶格拓扑形状对有效速度各向异性的影响。正方形晶格型声子晶体比正六边形晶格声子晶体具有更明显的各向异性，对于具有正方形晶格的声子晶体周期平面内传播的弹性波，SV慢度曲线向内凹，L　慢度曲线向外凸，而SH慢度曲线为圆形(各向同性)；具有正六边形或正三角形排列的声子晶体，其周期平面内传播的弹性波几乎是各向同性的。 在各向同性介质中的波动均为纯模，即粒子的振动方向不是平行于波动传播方向就是垂直于波动传播方向，对有关它的散射问题处理相对容易，从对称性论证出发我们可以得出声子晶体与相同晶格型自然晶体具有相同的纯模性质。利用到周期结构的周期性特点和特殊方向波动的纯模性质，我们进一步研究了三维声子晶体低频极限弹性波传播，得出了低频极限时弹性波传播有效速度的精确解析公式和有效弹性模量，得出的理论可以求解三维声子晶体内任意方向传播的弹性波有效速度。三维声子晶体同样具有各向异性现象，对于具有sc晶格排列的声子晶体(100)面内传播的弹性波，QS波慢度曲线向内凹，QL波慢度曲线向外凸，而fcc晶格排列时与相应的sc晶格排列时的情况正好相反。文中我们只研究了具有立方晶格型声子晶体的低频弹性波传播问题，但我们的研究可以很容易地推广到其它形式的声子晶体：无论是怎样的晶格，也无论是怎样形状的嵌入体。 对于含中间包层的局域共振型声子晶体，通过数值仿真发现软包层的引入并不是由于降低声子晶体中的波动传播速度而使禁带出现在低频，而且即使由于某种因素导致声子晶体中波动的传播速度变慢，也并不一定会引起声子晶体禁带对应频率的降低。 本文的前面章节介绍了声子晶体的研究现状以及研究声子晶体的一些基本理论和基本方法。