为了处理超复数信号，人们提出了四元数自适应滤波算法。在四元数最小均方（QLMS）自适应滤波算法中，由于四元数梯度计算方式的不同，存在着许多不同的QLMS算法版本。但是这些版本都存在着一些不足，有些版本是直接运用复数域和实数域上的求导法则，还有些版本虽然运用四元数微分算子，但是其使用的微分算子忽略了四元数的非交换性。值得注意的是梯度的严格处理是推导随机梯度优化算法的先决条件。然而，由于传统四元数微分算子理论发展的滞后，其制约了四元数自适应滤波算法的发展。而随着 Hamiltonian-Real（HR）微分算子的提出，这个问题得到了初步的解决，其可以用于对四元数自适应滤波算法进行严格的推导和证明。　　本文主要对四元数微分算子理论以及四元数自适应滤波算法进行了深入地研究。由于四元数乘积不满足交换性，四元函数的乘积及复合求导法则跟传统的实数域以及复数域上的法则有着本质的不同。虽然，之前的学者已经给出了结果，但是其证明的过程是繁琐冗长的，与实数域微分的关系不够清晰。所以，本文通过HR微分和多元实数微分之间的等价关系，我们为HR微分提供了新的证明，并给出了四元数乘积法则、复合函数求导法则以及一阶的泰勒展开式的新证明。此证明方法，不仅简化了证明过程，还更易于理解。然后，利用HR微分算子推导了三种QLMS自适应滤波算法：严格线性、半宽线性和宽线性 QLMS算法，并与之前的结果进行比较，说明了基于HR微分算子的四元数自适应滤波算法的正确性。接着，分析了这几种QLMS算法稳态时的最小误差，并比较了它们的优劣性，即宽线性优于半宽线性，半宽线性优于严格线性。同时，还给出了宽线性与严格线性稳态时的最小误差的直接比较，进一步佐证了宽线性算法的优越性。但是宽线性QLMS算法的计算量较大，为了减少计算量，本文还提出了一种新的低复杂度的宽线性算法形式。