【摘 要】
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广义重心坐标能把多边形或多面体内任意一点表示为其顶点的线性组合,因此在计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,CAGD）和计算机图形学（Computer Graphics,CG）等领域都是重要的研究课题。本文用渐进逼近的思想构造广义重心坐标。在平面上,给定多边形及其内一点,首先将多边形投影到以该点为圆心的单位圆上,依次连接投影到同一圆上的各边的中点,形成
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广义重心坐标能把多边形或多面体内任意一点表示为其顶点的线性组合,因此在计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,CAGD）和计算机图形学（Computer Graphics,CG）等领域都是重要的研究课题。本文用渐进逼近的思想构造广义重心坐标。在平面上,给定多边形及其内一点,首先将多边形投影到以该点为圆心的单位圆上,依次连接投影到同一圆上的各边的中点,形成新的圆内接多边形。然后构造以新多边形相邻两个点为顶点,其余点的加权和为另一顶点的三角形。并在该三角形内创建初始迭代点。以三角形顶点及各边中点为控制点生成三条有理Bézier曲线。通过曲线调整迭代点的位置,达到逐步缩小其与给定点距离的目的,直至重合。最后通过回代求出给定点的渐进逼近坐标。在三维空间中,给定以三角网格表示的多面体及其内一点,首先将多面体顶点投影到以该点为球心的单位球面上。借鉴三维均值坐标在球面三角形上插入面点,根据三角网格的拓扑信息,求得各个顶点1邻域点的均值,形成新的内接多面体。然后构造以新多面体一个三角面片的顶点为顶点,其余点的加权和为另一顶点的四面体。通过四面体最大内接球球面与线段的交点调整迭代点的位置,使其逐渐逼近于初始给定点,直至重合。与二维情况类似,最后通过回代求出给定点的三维渐进逼近坐标。实例表明该构造方法是收敛的,且坐标非负的。
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