本文在小波经典理论的基础上,主要对半双正交小波的有关理论进行了研究.　　多尺度分析是小波分析中最重要的基本概念之一.在第三章中,首先由Hilbert空间中多尺度逼近的定义,深入研究探讨了Hilbert空间中多尺度逼近对的构造,并对其刻画性质作具体讨论.在此基础上,由L2(R)中一对满足方括号积条件的紧支撑尺度函数φ和φ?,构造了一对方括号积多尺度分析.同时将相关构造方法应用到基数B–样条,具体构造了一对方括号积多尺度分析.此外,由该方法构造得到的一对方括号积多尺度分析以双正交和半正交多尺度分析作为特殊情形,这表明方括号积多尺度分析对更具有一般性.　　由尺度函数构造小波函数是小波构造中最为普遍的使用方法.有了前面方括号积多尺度分析对的构造,自然要问由这对尺度函数可否构造出相应的小波函数ψ和ψ?,而在小波函数存在的前提下,其伸缩平移序列能否张成 L2(R)空间中的 Riesz基?在前面的基础上,第四章就这些问题展开了深入探讨.首先,依据正交小波、半正交小波以及双正交小波的定义,类似给出了半双正交小波的定义,同时讨论了小波函数ψ和ψ?构成L2(R)空间中半双正交小波Riesz序列对的条件.紧接着,由L2(R)中一对满足方括号积条件的紧支撑尺度函数φ和φ?,给出了具体构造小波ψ和ψ?的一个方法,并证明其伸缩平移序列构成L2(R)的一对半双正交小波Riesz基.同时,将半双正交小波的构造方法应用到基数B–样条,具体构造了满足相关条件的一对半双正交小波.　　算法是由理论通向应用最为关键的步骤之一.既然由一对满足方括号积条件的紧支撑尺度函数φ和φ?构造出了半双正交小波ψ和ψ?,当然最为关心的就是这类小波是否存在分解重构算法——Mallat算法.所以基于上述相关内容,第五章就该问题作了分析探讨.根据该类小波函数ψ、ψ?与尺度函数φ、φ?及其对应的小波空间W、Wf和尺度空间V、Ve之间满足的相应关系,具体构造了基于半双正交小波的分解重构算法.对算法的进一步讨论表明,该类小波的分解重构算法比双正交小波和半正交小波分解重构算法更具一般性,但算法也因为尺度函数满足的关系相对变弱而使复杂度增加.　　本文利用满足方括号积关系的一对尺度函数构造了方括号积多尺度分析对,并由此给出了构造半双正交小波基的方法及其分解重构算法,充实和推广了小波分析理论,具有一定的学术价值。