从实用的观点来看,和图标号可用作图的压缩表示,即表示图的数据结构.当利用输入图的压缩表示来工作时,数据压缩不仅可以节省内存,还可以加快某些图算法的运算速度.1990年,Harary提出了和图的概念,从而开始了对和图的研究.目前对和图的研究主要是从一些特殊图类着手,确定它们的和数、整和数与模和数.迄今为止,已经取得了许多成果.在该文的第一章中,我们主要介绍了文章中所涉及的一些概念、术语和符号;在第二章和第三章中,我们分别确定了扇Fn(n≥2)与图Kn,n-E(nK2)的和数、整和数以及模和数;在第四章中,我们主要研究完全二分图与图Kn-E(Kr)的模和数;最后,在第五章中,我们定义了模整和图与模整和数的概念,给出了模和数、整和数以及模整和数之间的若干关系,并讨论了若干图类的模整和数.令V(G)表示图G的顶点集合,|S|表示集合S中元素的个数.令N(Z)表示正整数(整数)集,N(Z)的非空有限子集S的和图G,+>(S)是图(S,E),其中uv∈E当且仅当u+v∈S.一个图G称为(整)和图,若它同构于某个S N(Z)的和图.(整)和数σ(G)(ζ(G))是使得G U nK<,1>是(整)和图的非负整数n的最小值.模和图是取S Z<,m>{0}且所有算术运算均取模m(≥|S|+1)的和图.一个图G的模和数ρ(G)是使得G U ρK<,1>是模和图的孤立点数ρ的最小值.在该文中,我们主要得到如下定理.定理2.1.1 ρ(F<,4>)=1,对n=3和n≥5有ρ(F<,n>)=2.定理2.2.1对n≥3,σ(F<,n>)=2,n=4,3,n=3或者n≥6且n为偶数,4,n≥5且n为奇数.定理2.2.2当n≥3时,F<,n>是整和图.定理3.1.1当n≥6时,ρ(K<,n,n>-E(nK<,2>))=n-2.定理3.2.1当n≥6时,σ(K<,n,n>-E(nK<,2>))=2n-3,ζ(K<,n,n>-E(nK<,2>))=2n-5.定理4.1.1对s≥r,ρ(K<,r,s>)=0,s>r=1,或s=r=2,或s>3r-4(r≥2),或3r-4≥s>2r-1,s是偶数,或(5/2)r≤s≤3r-4,s是奇数且5 |s,r,r≤s≤2r-1(r≠2)或s=2r+1(r≥5),0或r,2r+3≤s<(5/2)r,s是奇数,或(5/2)r≤s≤3r-4,s是奇数且不能被5整除.定理4.2.1ρ(K<,n>-E(K<,r>))=0,r=n或r=n-1(n≥3).=1,r=1,2 ≤n≤3.=n,r=1,n≥4.=r,n/2≤r≤n-3.=r-1,r=n-2≥3.∈[n-1,2(n-r)],2≤r且所有算术运算均取模m(≥|S|)的和图.一个图G的模整和数ψ(G)是使得G U ψK<,1>是模整和图的孤立点数ψ的最小值.引理5.1.1对任意的图G,若不存在度为|V(G)|-1的顶点,则ψ(G)=ρ(G).定理5.1.1对任意的图G,有ψ(G)≤ ζ(G).定理5.1.2对任意的图G,若不存在度为|V(G)|-1的顶点或者ζ(G)≠0,则ρ(G)≤ζ(G).推论5.1.1对满足s≥r和r+s≥3的完全二分图K<,r,s>有ψ(K<,r,s>)=ρ(K<,r,s>).推论5.1.2ψ(K<,n,n>-E(nK<,2>))=ρ(K<,n,n>-E(nK<,2>)).推论5.1.3扇F<,n>是模整和图.推论5.1.4轮W<,n>是模整和图.定理5.2.1ψ(K<,n>-E(K<,r>))=0,r≥n-3,或r=1,或n-r | r.=r,n/2≤r≤n-4且r不能被n-r整除.∈[n-1,2(n-r)],2≤r