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本原置换群的研究受到了许多学者的关注，例如，M.Liebeck及Saxl刻画了奇数阶的本原置换群；R.Guralnick刻画了阶为素数幂的本原置换群；李才恒教授及Serres对次数为平方自由的本原置换群进行了归类.在上述学者研究的基础上，可很好的刻画一些奇数阶的对称图，阶为素数幂的对称图，阶为平方自由的对称图.
对称群SΩ的子群G称为Ω上的置换群，Ω的长度称为置换群G的次数，一个作用在Ω上的传递置换群G是拟本原的当且仅当G的每一个非平凡正规子群都在Ω上传递.作用在Ω上的传递置换群G是二部拟本原置换群当且仅当G的每一个非平凡正规子群作用在Ω上最多有两个轨道，且至少存在G的一个正规子群作用在Ω上恰有两个轨道.而作用在Ω上的群G为立方自由次的置换群当且仅当不存在任何素数p，使得︳Ω︳能被p3整除，本文主要根据ONan-Scott定理，刻画立方自由次的拟本原和二部拟本原置换群.下面的定理1刻画了立方自由次的拟本原置换群.
定理1.令G为作用在Ω上的立方自由次的拟本原置换群，则G为AS型，或下述之一成立：
(i)如果G为HA型，则下述之一成立：
(1)soc(G)=Zp：Z1，其中l︳p-1.
(2)soc(G)=Z2P，且下述情形之一成立：
(a)SL(d,p)≤Gω≤GL(d,p);
(b)Gω=Zι或Zι：Z2，其中p+l︳ι;
(c)Gω=Zι︴S2，其中ι≠1，ι︳-1;
(d)Qs≤Gω≤Zp-1.GL(2,3);
(e)SL(2,5)≤Gω≤Zp-1.SL(2,5).2，其中5︳p2-1.
(ⅱ)G为HS型，且soc(G)=PSL(2，p2)，其中p≡±3(mod8).
(ⅲ)G为SD型，且N=soc(G)=T2，G=N.O，其中T=PSL(2，p)，Z2≤O≤Out(T)×S2，且p为素数，p≡±3(mod8).
(ⅳ)G为PA型，则soc(G)=T2，其中T为非交换单群并且含有一个指数为平方自由的子群.
下面的定理2刻画了立方自由次的二部拟本原置换群.
定理2.令G为作用在Ω上的二部拟本原置换群，且恰有两个轨道△l，△2.其中︳Ω︳为立方自由，令G+=G△，=G△2，则下述之一成立：
(1)假设G+忠实地作用在△1上，则G+为拟本原置换群，且G+为AS，HA，PA型，而G+为定理1中的对应情形.
(2)假设G+非忠实地作用在△l上，则(G+)△1为拟本原置换群，且(G+)△1为AS，HA或PA型，G+=（N1×N2）.（O1.O2），其中Nl≌N2=Soc((G+)△1).