本论文是研究带分数阶拉普拉斯算子的相关问题,这类问题来自于一些不同类的实际问题,比如金融市场问题、相位变换问题、反常扩散问题,半透膜问题,极小曲面问题等。而我们解决这一类问题要掌握变分原理,临界原理、极值原理、分数阶拉普拉斯方程的定义等等,因而,带分数阶拉普拉斯算子的方程对现代自然现象的研究十分重要,尤其是它的非线性方程。分数阶拉普拉斯算子是一类非局部椭圆算子。它在物理现象、反常物理现象和许多远程中运用。我们证明了一类椭圆方程非平凡解和径向对称解的存在性。本文的第一章是绪论,首先简要介绍问题背景及意义和发展历程及研究现状,最后介绍本论文中要用到的基本定理、命题和本文的主要工作。正文中的第二章,我们讨论问题:的非平凡解,其中N ≥ 2,s ∈(0,1),(-△)s是分数阶拉普拉斯算子,且f:R~N × R → R是超线性且对u有次临界增长的。在这章中,论述它在满足一些条件下存在非平凡解,并且给出非平凡解存在性定理及其证明的过程。正文中的第三章,我们给出了在次临界情况下可以得到的径向对称解的存在性定理的证明过程,还有一些扩充领域。我们首先考虑了在次临界情况下可以得到的径向对称解的存在性定理。在径向对称函数所组成的空间运用Nehari流形及变分法找到方程的临界点,即为此方程的对称解。