本学位论文主要研究Riemann模空间的复测地线和闭测地线.　　 Riemann模空间的复测地线是Teichmüller空间的Teichmüller圆盘的像.等价地,Riemann模空间的复测地线是平坦曲面的SL(2,(R))轨道的像.通过固定平坦曲面的平坦覆盖,可以得到高亏格的平坦曲面.反过来,给定平坦曲面,探讨其能否由低亏格平坦曲面的平坦覆盖实现是一个重要问题.平坦曲面具有许多重要的不变量——仿射群和迹域等.本学位论文发现有理数迹域的平坦曲面均可实现为仅具四个极点的亏格为零的平坦曲面的平坦覆盖曲面.通过构造标记点集的平移环面上的平移覆盖曲面,本文论证了具有抛物循环仿射群的平移曲面的存在性.　　 Riemann模空间的复测地线由其中测地线唯一确定.特别地,Riemann模空间的闭测地线与相应的模群中的双曲型模变换相对应.双曲型模变换确定一族伪Anosov映射.确定闭测地线上Riemann曲面和相应的伪Anosov映射是一个有趣的课题.因为有理数迹域的平坦曲面均可由仅具四个极点的亏格为零的平坦曲面的平坦覆盖曲面实现,所以确定M0,4中闭测地线上穿孔Riemann球面的特征和确定Mod(0,4)中双曲型元素的伪Anosov同胚具有重要的意义.本学位论文利用Bers同构定理发现M0.4中闭测地线上的Riemann曲面均由(0,3)型Riemann曲面剜去闭测地线上的一点得到.进而重新论证M0.4和M1的同构性,并且计算出了仅具有极点的亏格为零的平坦曲面的仿射同胚群.