本文主要讨论图的着色问题,通过讨论图的色多项式的零点问题,分析对图着色保证相邻的两个顶点不同色的最少方法数目,进而得到一些特殊情形图着色的等价条件。而图的色多项式与相对应的纽结多项式和Potts模型的分拆函数相关联,因此本文涉及到了关于统计力学和纽结的相应结论。　　 本文的主要研究方法是对顶点着色提供一个新的研究渠道,即计算先前的图移除自身的一部分之后的图的色多项式,得到后者的着色数目,并通过前后图着色数目的对比进行一些题目的讨论并通过归纳法得到一些一般的结论。为了完成这项工作,首先需要一些准备和对图论知识、纽结理论及统计力学的知识的回顾.然后对一些特殊的图形分门别类地进行讨论:第1组讨论的是“n-圈环绕树”的着色数目；第2组讨论的是“n-弧-移除”对图的着色数目的影响；第3组是“树-移除”对图的着色数目的影响；第4组讨论的是“n-圈-移除”对图的着色数目的影响；第5组讨论的是“图架桥”对图的着色数目的影响；第6组讨论的是“去掉重复边”对图着色数目的影响；第7组讨论的是“n-圈环绕图”的着色数目。　　 对于平面图上建立的Potts模型,以上对原有图做的变化的分析都可以应用到对Potts模型分拆函数发生的变化的分析中,而统计力学中的很多热力学变量都可以由分拆函数计算得到,因此会得到相应的对统计力学的应用。对于与平面图对应的纽结的投影图,以上对原有图做的变化也可以应用到纽结方括号多项式中,得到关于纽结的相应的结论。