本文主要研究有关有限无向简单图的染色相关的一些问题.　　 图G的一个正常顶点染色是指k种颜色1,2,…,k对于G的各顶点的一个分配,使得任意两个相邻的顶点分配以不同颜色.若图G有一个正常k-点染色,那么就称图G是k-点可染色的.图G的色数是指G有一个正常k顶点染色的数k的最小值,用χ(G)表示.　　 图G的一个顶点色列表L是一个颜色集合簇,它指定G的每个顶点ν一个颜色集合L(ν).对于一个给定的色列表L，若G有一个正常的顶点染色π,使得对每一个顶点ν∈V(G),有π(ν)∈L(ν),则称G为L-顶点可染的或者称π是G的一个L-染色.若对每一个满足｜L(ν)｜≥k,v∈V(G)的L,G都是L-点可染的,则称G是k-点列表可染的,简称G是k-列表可染的,或称为k-可选的.G的顶点列表色数χl(G)是使得G是k-可选择的最小的非负整数尼.　　 图的列表染色是图的染色的一个推广,列表染色的概念首先由Vizing[68]和Erd(o)s等人[32]在20世纪70年代提出.1979年,Erd(o)s,Rubin和Taylor[32]提出了下面的猜想.　　 猜想1.2.1(Erd(o)s,RubinandTaylor[32])(1)每个平面图是5-可选色的；(2)存在平面图不是4-可选色的.　　 从20世纪90年代以来,大量的学者和专家对图的选色问题进行了研究,并得出了一系列成果.上述的猜想分别由Thomassen于1994年[65]中及Voigt于1995年[69]中予以解决.所有的2-可选色的平面图已由Erd(o)s,Rubin和Taylor在[32]中进行了特征化的刻画.Gutner于1996年在文献[36]中证明这类着色问题是NP-完全的.所以众多学者转向寻找一个图是3-可选色或4-可选色的充分条件.我们在论文中讨论了类似的问题,进一步得到了如下的结果.　　 定理2.2.1.若G是一个无5-,6.和7-圈的平面图,如果G中任意两个三角形的距离至少为3,则G是3-可选色的.　　 定理2.2.2若G是一个无5-,6.和8-圈的平面图,如果G中任意两个三角形的距离至少为2,则G是3-可选色的.　　 定理2.2.3若G是一个无4-,5-,7-和10.圈的轮胎图,则G是3-可选色的.　　 假若染色π是图G的正常顶点染色,并且对于G中的任何一个圈子图C都用到至少3种颜色,那么我们称染色π是G的一个无圈染色.图G的无圈色数χa(G)就是使得G是无圈k-可染的最小的非负整数k.　　 对于一个给定的色列表L若G有一个正常的无圈染色7r,使得对每一个顶点ν∈V(G),都有π(ν)∈L(ν),则称G是无圈L-可染的或者称π是G的一个无圈L-染色。若对每一个满足｜L(ν)｜≥k,ν∈V(G)的色列表L,G都是无圈L-可染的,则称G是无圈k-列表可染的,简称G是无圈k-可选的.G的无圈列表色数χla(G)是使得G是无圈k-列表可染的最小的非负整数k.　　 在第3章中,我们讨论了无指定圈的平面图的无圈选色问题,记一个弦k-圈为一个带弦的k-圈.我们给出了下述结果,此结果改进了Montassier等人在([55],2006)及([59],2007)中的一些结果.　　 定理3.2.1若G是一个无4-和弦6-圈的平面图,则G是无圈5-可选色的.　　 定理3.2.2若G是一个无4-和6-圈的轮胎图,则G是无圈5-可选色的.　　 推论3.2.1若G是一个无4-和5-圈,或无4-和6-圈,或无3-和4-圈的平面图,则G是无圈5-可选色的.　　 每个分支均为路的图称为线性森林,图G的一个t-线性染色是指t种颜色1,2,…,t对于G的各条边的一个分配,使得(V(G),φ-1(α))是一个线性森林,其中1≤α≤T.图G的线性荫度LA(G)定义为最小的整数T使得G有一个t-线性染色.　　 本文第4章对非负欧拉特征值图的亡.线性染色进行了讨论.首先给出了一个特殊非负特征值图类的结构结论,运用此结论,讨论了此类图当最大度较小时的线性荫度值.　　 定理4.2.1若G是一个无4-和相交3-圈的非负特征值图,如果△(G)≤5,则LA(G)≤3.　　 论文的最后我们列出一些关于图的染色的可进一步研究的问题.