代数曲线是经典的数学研究对象.由于它在数学与应用数学的各个分支,以及密码系统、数字图像处理和计算机视觉等工程领域中的重要应用,近年来从计算角度研究代数曲线己成为非常活跃的分支.传统的符号计算软件Maple中有一个处理代数曲线的软件包,利用这个软件包可以得到它的一些基本量.然而理论分析和数值例子都表明代数曲线的一些基本量在其系数小扰动下是不稳定的,并且小扰动可能改变代数曲线的一些性质.为此,区别于传统的利用符号计算研究代数曲线的方法,本文通过应用求解多项式方程组的同伦连续方法和一个在标准机器精度下计算不精确多项式重根的方法,数值计算代数曲线的一些基本量,基于这些基本量的计算给出数值实现Max Nother剩余交定理条件的算法.本文共六章,主要内容如下.第一章首先介绍代数曲线基本理论数值化研究的背景,然后给出相关研究的进展,最后简介本文的主要工作.第二章介绍本文涉及到的代数曲线和方程求根的内容.第三章应用求解多项式方程组的同伦连续方法计算两条代数曲线的交点以及代数曲线的拐点.相比基于符号运算的方法,这种应用不仅在计算时间和处理次数较高的代数曲线时体现出优势,而且理论分析和数值实验都表明在代数曲线的系数受到微小扰动时相应的算法具有较高的准确性和鲁棒性.第四章提出计算代数曲线奇异点及其重数和特征的算法.首先通过一个数值例子说明代数曲线的系数的小扰动会改变奇异点,然后证明代数曲线的奇异点是孤立的,基于这个结论,使用求解超定多项式方程组的方法和求解多项式方程组孤立解的同伦连续方法,并结合一个计算不精确单变量多项式重根的方法,提出计算代数曲线奇异点及其重数和特征的算法,分析了算法的有效性和鲁棒性,证明算法具有关于代数曲线次数的多项式时间复杂度.理论分析和数值例子表明,在标准机器精度下,即使代数曲线的系数受到微小的扰动,在Matlab中实现该算法的数值程序是有效的、准确的和鲁棒的,与未受到扰动的代数曲线的奇异点及其重数和特征相比,计算得到的奇异点具有足够多的准确数字,并且保持重数和特征不变.第五章基于对Duval有理Puiseux展开的数值实现,提出计算多项式在代数曲线支处的阶数的算法,并给出数值实现Max Nother剩余交定理条件的算法,代数曲线的系数的微小扰动会改变它的支的一些重要信息,比如支的奇异指标和支的数目.通过应用一个计算不精确单变量多项式重根的方法,数值实现Duval提出的计算有理Puiseux展开的算法,从而在不使用多精度运算的情况下,依然计算出不精确代数曲线的支.计算得到的支的系数具有足够多的准确数字,保证计算阶数的算法准确的确定出多项式在这些具有近似系数的支处的阶数.基于本文计算的代数曲线的基本量,比如交点、奇异点、点的重数和特征、支和多项式在支处的阶数,最后给出数值实现Max Nother剩余交定理的条件的算法,并且证明算法具有关于代数曲线次数的多项式时间复杂度.数值例子表明该算法对应的数值程序在判断三条代数曲线是否满足Max Nother剩余交定理的条件时是准确的和有效的.第六章总结全文,并展望下一步的研究工作.