概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。它在自然科学、技术科学、管理科学中都有着广泛的应用，因此从上个世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而且不断有新的分支学科涌出。概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中极为重要的理论基础．前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义。”关于独立随机变量的经典的概率极限理论在上世纪30年代和40年代已获得完善的发展。其基本结果被总结在Gnedenko和Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》(1954)及Petrov的专著《独立随机变量和的极限定理》(1975)中。 随机变量的相依性概念不仅早已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来(如在马氏链、随机场理论和时间序列分析中)，而且也出现于许多实际问题中。虽然独立性假设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在某些实际问题中，样本并非是独立的观察值。由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际意义。关于混合相依变量的经典的极限理论被系统地讨论于陆和林的专著《混合相依变量的极限理论》(1997)中。负(正)象限相依(NQD，PQD)的定义由Lehmann(1966)引入。正相伴(PA)的定义由Esary，Proschan和Walkup(1967)引入，负相伴(NA)的定义首先由Alam和Saxena(1981)引入。线性负(正)象限相依(LNQD，LPQD)的定义由Newman(1984)引入。本文就是对这些相依随机变量的强极限性质进行了深入的研究。 本文第一章主要讨论了相依随机变量的Hájek-Rényi-Chow不等式和：Berry-Esseen不等式。众所周知，Kolmogorov不等式是证明强大数律非常有用的工具。1955年，Hájek和Rényi推广了Kolmogorov不等式，得到了一个更有意思的不等式，并且利用此不等式给出了强大数律的一个简洁证明。Chow在1960年把Hájek和：Rényi的结论推广到下鞅得到了一个被称之为Hájek-Rényi-Chow的不等式：假设{Yn，Fn，n≥1}是非负下鞅，记0≤cn≤cn-1≤…≤c1是常数，则有P(max1≤k≤nckYk≥ε)≤ε-1{n-1∑i=1(ci-ci+1)EYi+cnEYnI{max1≤k≤nYk≥ε}}≤ε-1{cnEYn+n-1∑i=1(ci-vi+1)EYi}(A)ε＞0.在第二节中我们主要讨论了一类比正相伴更广的被称之为Demi-鞅的随机变量的Hájek-Rényi-Chow不等式，同时也获得了正相伴随机场上的Hájek-Rényi不等式。第三、四、五节主要讨论了几类相依随机变量的Berry-Esseen不等式。Berry-Esseen不等式用来表示随机变量序列{Xn，n≥1}前n项的正则化和的分布函数Fn(x)与标准正态分布函数φ(x)之差趋于零的速度，由Berry(1941)和Esseen(1945)最早开始讨论：设{Xn，n≥1}是一零均值的独立同分布的随机变量序列，Ex21=σ2＞0，E|X1|3＜∞，则存在一个正常数C使得supx|Fn(x)-φ(x)|≤CE|X1|3/√nσ3.在第三节中我们获得了渐近负相伴序列的Berry-Esseen不等式，在第四节中我们利用Stein方法获得了负象限相依序列的Berry-Esseen不等式，在第五节中我们获得了负相伴随机场的Berry-Esseen不等式。 1969年，Philipp曾经指出“对于任何随机变量，如果有：Borel-Cantelli引理，一个合适的中心极限定理的收敛速度和一个最大值概率不等式，则重对数律成立。”于(1986)和邵和苏(1999)遵循这个规则分别得到了正相伴和负相伴随机变量的重对数律．众所周知，Levy型最大值不等式或者最大值指数不等式是证明重对数律的关键，那么对于没有此类不等式(或者说至今尚未获得此类不等式)的随机变量，到底有没有重对数律?最大值矩不等式是证明强大数律和弱不变原理的核心工具，那么，它是不是也可以用来证明重对数律呢?在第二章中，我们给出了肯定的回答。我们在第二章第一节中获得了渐近负相伴序列的重对数律，在第二节中获得了线性正象限相依序列的重对数律，在第三节中获得了正相伴随机变量的函数列的非经典的重对数律，在第四节中进一步讨论了线性负象限相依随机场的重对数律。 在第三章中，我们主要讨论了相伴随机变量的几乎处处极限定理。几乎处处极限定理是近十年来概率论研究的一个热门话题。由Brosamler(1988)和Schatte(1988)最早开始研究，而仅要求二阶矩存在的独立同分布序列的几乎处处中心极限定理由Lacey和Philipp(1990)给出：设{Xn，n≥1}是一独立同分布的随机变量列，EX1=0，EX21=1，记Sn=∑ni=1Xi，那么有(A)xlimn→∞1/lognn∑k=11/kI{Sk/√k≤x}=φ(x)a.s.之后，不少学者讨论了非独立随机变量的几乎处处中心极限定理：Peligrad和邵(1995)针对严平稳的混合序列以及正相伴序列，证明了上式成立，董和杨(2004)针对严平稳的负相伴序列和线性负象限相依序列，证明了上式成立．关于相依和混合序列的几乎处处极限定理的很多结论也可以参见Khurelbaatar(2001)的博士论文。 1998年，Arnold和Villase(n)or两位学者在研究记录值的部分和的极限性质时，首先得到了关于数学期望为1且服从指数分布的独立同分布序列的部分和乘积的渐近结果。后来，Rempata和Wesolowski(2002)去掉了随机变量服从指数分布的限制条件，得到了：设{Xn，n≥1}是一独立同分布的正随机变量列，且EX1=μ＞0，Xar(X1)=σ2＜∞，那么有(∏nj=1Sj/n!μn)1/(γ√n)D→√e2N，其中γ=σ/μ是标准差系数，N是标准正态随机变量。最近，Kharelbaatar和Rempata(2006)进一步讨论了独立同分布序列部分和乘积的几乎处处极限定理，他们得到了(A)xlimn→∞1/lognn∑k=11/kI{(∏kj=1Sj/k!μk)1/(γ√k)≤x}=F(x)a.s.,其中F(x)是e√2N的分布函数。在第三章第二节中，我们进一步推广了Kharelbaatar和Rempala(2006)的结论，得到了关于负(正)相伴和混合序列部分和乘积的几乎处处极限定理，在第三节中，我们讨论了负(正)相伴随机场的几乎处处中心极限定理。 在第四章中，我们主要讨论了自正则部分和的重对数律的精确渐近性。假设{X，Xn，n≥1}是一非退化的零均值的独立同分布序列。记σ2=EX2，Sn=∑ni=1Xi，V2n=∑ni=1X2i，n≥1.经典极限理论的研究对象往往是标准的正则化和Sn/√nσ2，现在我们用Vn代替√nσ2作正则化因子，构成一个新的统计量Sn/Vn，我们称Sn/Vn为自正则和。对自正则和的研究是当今概率极限理论发展的一个新的热门方向，我们称之为自正则的极限理论。从统计学的观点来看，用Vn代替√nσ2作正则化因子是自然而有道理的，因为随机变量的数字特征(如期望，方差)往往是未知的。因此，从某种意义上说，在统计实践中应用Sn/Vn的结论得到的结果相比较于Sn/√nσ2更为精确。更重要的是，自正则和与学生化t-统计量有着密切的联系。定义一个学生化t-统计量为Tn=√n-Xn/sn,其中-Xn=Sn/n和s2n=∑ni=1(Xi--Xn)2/(n-1).我们可以写Tn=Sn/Vn(n-1/n-(Sn/Vn)2)1/2,从上式可以得到，对任意的x＞0{Tn≥x}={Sn/Vn≥x(n/(n+x2-1))1/2}.过去的十几年里，很多学者对自正则的极限理论的研究一直充满兴趣和激情，得到了很多漂亮的结论：Griffin和Kuelbs(1989)得到了重对数律，邵(1997)在没有矩条件的假设下，得到了大偏差结果，Giné，G(o)tze和Mason(1997)得到了中心极限定理的充要条件，Cs(o)rg(o)，Szyszkowicz和王(2003a，2003b)得到了Darling-Erd(o)s定理和Donsker定理，荆，邵和王(2003)得到了指数界的非一致Berry-Esseen不等式和cramér型大偏差结果。庞(2005)得到了部分和的随机乘积的渐近结果。 随机变量部分和的精确渐近性的研究是近几年极限理论研究的一个热门方向。张(2001c，2002a)给出了关于独立随机变量序列的重对数律的精确渐近的最佳结论，张(2002b)和庞(2005)给出了关于独立随机变量序列的对数律的精确渐近的最佳结论，蒋(2004)给出了关于独立随机变量序列的矩重对数律的精确渐近的最佳结论。王和蔡(2004)讨论了U-统计量的精确渐近性，黄(2003)和李(2005)则分别讨论了相依随机变量序列和滑动平均过程的精确渐近性，得到了许多漂亮的结论。在第四章第二节中，我们讨论了自正则部分和的重对数律的精确渐近性。在第三节中，我们进一步讨论了自正则部分和的Chung型重对数律的精确渐近性。 本文的所有结果都已分成独立的文章投稿到国内外的各种刊物上，其中的一部分已被发表或正式录用，详细情况可参见文末附表。最后，由于作者的学识浅薄，文中难免会存在不当以至谬误之处，敬请各位不吝批评、指正。