数论是核心数学的重要研究领域之一,堆垒素数论是素数分布与丢番图方程这两个数论重要研究领域的交叉领域,它是从Vinogradov著名的三素数定理的证明和华罗庚关于非线性华林-哥德巴赫问题的研究这两项具有开创性的工作发展起来的,具有很大的理论意义和科学价值.堆垒素数论的核心研究课题就是华林-哥德巴赫问题.华林-哥德巴赫问题是研究表满足同余条件的正整数为素数方幂之和的可能性,这里要求的同余条件是为了排除退化解.设k是一个正整数,k次华林-哥德巴赫问题研究方程n=pk1+p2+…+ps(1)解的存在性,其中P1,p2,…,ps均为素数,n是满足同余条件的充分大的正整数.当k=1,s=2时,就是著名的偶数哥德巴赫猜想,即每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和,这个猜想至今悬而未决.当k=1,s=3时,这是奇数哥德巴赫猜想,即每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和,显然它是偶数哥德巴赫猜想的直接推论,现已被完全解决.对于非线性的华林-哥德巴赫问题,数学家们比较一直在估算H(k)的上界,其中H(k)表示所有满足同余条件的充分大的正整数n表示为形式(1)所需变量个数s的最小值.数学家们猜想对所有k ≥ 1均有H(k)=k+1,但对任意的k这一猜想都没有解决.华罗庚对H(k)进行了系统的研究,得出H(k)≤2k+1对于k>1都成立,对于k ≤ 3而言,这仍是目前最好的上界.对于k ≥ 4,华罗庚的这一结果已经被很多数学工作者改进,Vinogradov,Davenport,Thanigasalam,Kawada,Kumchev 和 Wooley等都对H(k)得到了深刻的结果.如果把满足条件且能表为形式(1)的所有充分大正整数n替换为几乎所有这样的n,就可以进一步减少解决(1)所需变量个数.这样,数学家们就自然而然地关心例外集的大小.对于充分大的正整数iN,令Ek,s(N)表示不超过N,满足某些同余条件且不能表为形式(1)的正整数的个数,数学家们主要估计Ek.s(N)的上界.本文主要研究了例外集之间的关系,华林-哥德巴赫问题的例外集及华林-哥德巴赫问题不等幂次情形的例外集.第一章主要介绍了华林问题和华林-哥德巴赫问题的研究背景和历史进程.第二章沿着Kawada和Wooley的思路,研究了例外集之间的关系.给定集合A和一个密度不太小的集合B,将B中的一个或者两个元素添加到集合A中后,得到一个新的集合C,在这一章中,我们得到集合A的例外集和集合C的例外集之间的关系,给出计算例外集上界的一种方法.第三章研究了四次方的华林-哥德巴赫问题的例外集,主要使用Hardy-Littlewood方法和赵立璐的方法,以及第二章得到的例外集之间的关系来估计例外集的上界.其中,对于7个素变量的例外集,得到了运用赵立璐的方法所能达到的最好的结果,对于9到12个素变量的例外集,得到了与Kawada和Wooley关于四次方华林问题的例外集相对应的结果.第四章主要研究了五到十次方的华林-哥德巴赫问题的例外集.对于素变量个数较少的情况,使用Hardy-Littlewood方法以及Kumchev和Wooley给出的新的指数和估计,来计算Ek,s(N)的上界.对于素变量个数稍多的情况,运用第二章得出的例外集之间的关系来计算Ek,s(N)的上界.改进了 Kumchev和刘志新的工作.第五章考虑了华林-哥德巴赫问题不等幂次的几种情况.主要使用Hardy-Littlewood方法,并通过给出新的混合幂次积分均值,减少积分所需的变量,从而改进了 Schwarz,Briidern,刘志新,Horffman和余刚等关于例外集的上界.另外,给出的新的积分均值也适用于其它的堆垒问题.