【摘 要】
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泊松代数是同时带有李代数和交换结合代数两种结构的代数,且这两种代数结构之间满足莱布尼兹法则。泊松代数可用一种二元运算来表示,为避免与经典的泊松代数混淆,我们称这种表现形式下的泊松代数为星形式泊松代数。本文主要通过星形式泊松代数来研究泊松代数的双代数理论。我们首先介绍了星形式泊松双代数,其等价于泊松双代数,并且很多泊松双代数的性质可以通过其上的星运算表达出来,包括星形式泊松双代数、星形式泊松代数的相
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泊松代数是同时带有李代数和交换结合代数两种结构的代数,且这两种代数结构之间满足莱布尼兹法则。泊松代数可用一种二元运算来表示,为避免与经典的泊松代数混淆,我们称这种表现形式下的泊松代数为星形式泊松代数。本文主要通过星形式泊松代数来研究泊松代数的双代数理论。我们首先介绍了星形式泊松双代数,其等价于泊松双代数,并且很多泊松双代数的性质可以通过其上的星运算表达出来,包括星形式泊松双代数、星形式泊松代数的相容对、星形式泊松代数的曼宁三元组之间的等价。特别的,类似于已知的上边缘泊松双代数,我们给出了一种特殊的星形式泊松双代数,这种构造导致我们引入星形式泊松代数的一个代数方程,它可以看作李代数上经典杨巴克斯特方程的类似,我们称之为星形式泊松代数上的经典杨巴克斯特方程。需要指出的是,已知的上边缘泊松双代数只是这种构造的特例。这说明,泊松代数的星形式虽然与通常的表示方式等价,但对于一些应用时,前者可能会揭示更多非平凡的内蕴。这也是本文的目的之一。最后,我们引入星形式泊松代数的O算子、预星形式泊松代数并讨论了他们与星形式泊松代数上的杨巴克斯特方程之间的关系。特别地,任何一个预星形式泊松代数可以构造星形式泊松代数上的杨巴克斯特方程的反对称解,并可由此构造星形式泊松双代数。这里给出的预星形式泊松代数与Aguiar给出的预泊松代数虽表示形式不同,但实际上是等价的。
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