分支现象广泛存在于生物医学、物理工程等模拟实际问题的数学模型中,而实际问题中噪声干扰是普遍存在的,噪声扰动下分支理论研究是动力系统的重要课题,具有广泛的应用价值.自L. Arnold专著[8]研究无界的服从正态分布的噪声扰动的分支以来,关于这类噪声的分支问题引起人们的极大关注.但在很多实际问题中噪声是有界的,如气温的波动和测量误差的波动等都是有界的A. Homburg和T. Young等近年来发表系列文章给出对有界噪声系统的研究框架,并研究了有界噪声扰动下平面微分系统的Hopf分支[15].本论文研究有界噪声扰动下平面微分系统的非双曲周期轨的分支,心肌细胞的离散动力学模型的周期点分支及在有界噪声扰动下其动力学行为的变化,并讨论这些动力学行为在心脏动力学中的生物含义.全文分为三部分.第一部分我们研究了一类有界噪声扰动下平面微分系统的非双曲周期轨的分支.基于A. Homburg和T. Young等[15,34,35]对有界噪声系统的研究框架,我们讨论有界噪声扰动下平面微分系统的极小正向不变集的Hausdorff度量或个数随参数变化而变化的规律,即所谓的硬分支[15].对应于平面微分系统非双曲周期轨的三类分支：叉型分支,鞍结分支和跨临界分支,在小的有界噪声扰动下,我们证明了扰动系统的极小正向不变集随参数变化时个数发生变化,即发生了硬分支.为了直观形象地说明定理结果,文中就三个具体的例子给出硬分支的数值模拟.第二部分我们利用离散动力系统模型研究心肌细胞的动力学行为.医学研究表明,临床上观测到的心律不齐、心室纤颤等心脏疾病与细胞层面上心肌细胞的动力学性质密切相关.在心肌细胞动力学的研究中,动作电位时程和钙瞬态是两个重要的研究量Y. Shiferaw等[G9,71,72]提出了关于这两个变量的一系列抽象的数学模型,这些模型多数没有明确的函数表达式,从而缺乏严格的理论分析.本文在已有实验数据和数学模型的基础上,导出一个具体的离散映射数学模型并讨论其可能的参数范围.通过严格的理论分析,我们证明该离散模型在其参数允许范围内发生一次倍周期分支和Neimark-Sacker分支,但不会出现文献[60]中提到的经过倍周期分支走向混沌.这些结果解释了生物医学家观察到的现象,如交替性和拟周期振荡等.在本文最后一部分,考虑到实际心肌细胞的动力学中钙离子循环有一定的随机性,我们提出了一个带有钙离子通道噪声的关于动作电位时程和钙瞬态的二维映射模型.在没有噪声扰动时,模型的分支分析表明,该模型会发生倍周期分支、逆向倍周期分支,以及Neimark-Sacker分支.在噪声扰动下,数值模拟表明,倍周期分支产生的周期轨变为拟周期波动,而不变闭曲线变为平面上的环域.对此,我们首次引入功率谱分析,讨论了该模型的分支行为与其功率谱之间的关系.通过数值分析,我们发现功率谱中高频峰值的出现与倍周期分支产生的交替性现象有关,而低频峰值的产生则与Neimark-Sacker分支对应的拟周期振荡现象密切相关.这一结果为医学和实验研究提供了理论支持.