【摘 要】
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为了解释群的生成元和定义之间的关系,在1878年,Arthur Cayley提出了Cayley图的概念.由于Cayley图构造简单,对称性高,种类多样,因此它加深了我们对图和群的理解,且使两者的关系更加紧密.设S为有限群G的不含单位元的子集,群G关于S的Cayley有向图,记为X(G,S),其顶点是G的元素,弧集是{(g,gs):g∈G,s∈S}.如果S是逆闭的(即S=S-1={S-l:s∈S})
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为了解释群的生成元和定义之间的关系,在1878年,Arthur Cayley提出了Cayley图的概念.由于Cayley图构造简单,对称性高,种类多样,因此它加深了我们对图和群的理解,且使两者的关系更加紧密.设S为有限群G的不含单位元的子集,群G关于S的Cayley有向图,记为X(G,S),其顶点是G的元素,弧集是{(g,gs):g∈G,s∈S}.如果S是逆闭的(即S=S-1={S-l:s∈S}),则X(G,S)可视为一个无向图,称为Cayley图.令D2n=＜a,b|an=b2=1,bab=a-1>为2n阶的二面体群,目前二面体群上Cayley图的谱的研究多集中在Cayley(无向)图.在本文中,我们首先研究了二面体群D2n上Cayley有向图X(D2n,S)的厄米特邻接矩阵的谱(H-谱),并且证明了所有|S|=3且p为奇素数的Cayley有向图X(D2p,S)是Cay-DS的,即若对任意Cayley有向图X(D2p,T),X(D2p,T)和X(D2p,S)有相同的H-谱,则它们是同构的.Semi-Cayley图是Cayley图的推广.文献中已有研究Semi-Cayley图的谱和拉普拉斯谱的相关结果.在第三章,我们给出了阿贝尔群上Semi-Cayley图的规范化拉普拉斯谱的表达式.作为应用,同时也给出了两类Semi-Cayley图的规范化拉普拉斯谱的公式.
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