随着我国材料科学的发展,具有良好的光、电、磁、热、机械等物理化学特性的碳纳米材料已经广泛应用于微纳米机电结构的制造中,如碳纳米管,石墨烯等。该类纳观尺度材料与宏观材料相比,具有更好的动力学性能,如高自振频率、高屈曲临界荷载等。然而,由于尺度效应的影响,传统的宏观结构分析方法无法正确分析碳纳米材料的动力特性,现有的实验和计算方法受到各方面的限制无法计算复杂的或规模较大的结构。因此,研究碳纳米材料的动力学行为具有重要的理论和实际意义。本博士论文针对纳机电系统中的两类重要元器件(纳米梁、纳米板)的振动行为展开研究,基于传统连续介质力学、非局部理论和哈密顿力学辛方法提出一种求解碳纳米材料或结构自由振动频率和模态的解析方法。研究工作首先以传统弹性理论和非局部理论相结合的方式,将碳纳米架构为包含尺寸效应的连续介质力学模型。其次,通过引入基本位移变量的对偶变量,将问题从传统拉格朗日求解体系转换到全新的哈密顿求解体系,并获得哈密顿正则方程(控制方程)以及相应的边界条件。最后,利用分离变量法求解控制方程,将原问题归结为辛空间中的本征问题,获得解析的频率方程以及计算具体的振动频率。研究工作发现,在哈密顿体系下,自由振动频率和模态可以通过辛本征值和本征解表示,并且具有明确的物理意义。具体研究内容如下：(1)采用欧拉—伯努利纳米梁理论,得到了常见边界条件下纳米梁自由振动问题的频率方程。在该问题的研究中,本文选择以位移和转角为原变量,弯矩和非局部等效剪力为对偶变数,将纳米梁自由振动的高阶微分控制方程转化成低阶的哈密顿正则方程,并根据哈密顿矩阵的特点,采用分离变量法得到哈密顿矩阵的本征值和本征向量,最终得到满足边界条件的频率方程。研究发现,随着非局部参数的增加,纳米梁的自由振动频率会减小,这表明非局部效应对材料的整体刚度矩阵有软化作用。纳米梁自由振动的频率与边界条件、非局部参数等均有关系,并且随着长度的增加,非局部效应对纳米梁基频的影响减小。对于不同边界条件时的固有频率,两端固支时最高,固支—自由时最低。(2)采用Kirchhoff板理论,讨论了Levy型各向同性纳米板、正交各向异性纳米板和圆形／环形纳米板的自由振动问题的辛方法。在这些问题的研究中,本文均构建了自由振动时的非局部拉格朗日函数,利用辛几何方法,得到了原变量和对偶变量描述的正则方程,将自由振动问题归结为哈密顿体系下的辛本征问题。基于辛几何的分离变数法,得到了Levy型矩形纳米板自由振动的解析解,并给出了不同边界条件下固有频率方程。对于各向同性纳米板和正交各向异性纳米板,本文给出了不同边界条件(固支、简支、自由和滑支)时固有频率随非局部参数、长宽比变化时的前六阶无量纲频率。研究表明,在相同条件下固支—固支时频率最高,自由—自由时频率最低,这表明固有频率受边界条件影响。同时,随着非局部参数的增加,固有频率下降越来越快,尤其是高阶模态时。以正交各向异性纳米板模型,根据已有文献资料,讨论了单层方形石墨烯的固有频率随厚度、长度和非局部参数的变化。为了详尽地研究圆形／环形纳米板自由振动问题,本文讨论了不同边界条件和内外径之比、非局部参数等对其固有频率的影响。数值算例发现,非局部参数和边界条件相关,并且对于内外径之比为0.8且非局部参数大于1m的圆环形纳米板结构,在某些边界条件时环向阶数n小于一定值时不会出现模态,仅存在环形阶数较高的振动模态。本文给出了该情况时环形纳米板的前八阶模态。(3)建立矩形双纳米板系统和圆形双纳米板系统振动的哈密顿体系,得到了问题的频率方程。在研究双纳米板系统振动问题时,本文将其振动形式分成同步振动、异步振动和一板固定三种情况,针对不同情况建立不同的哈密顿体系,得到了Levy型纳米板系统振动问题的解析解。对于圆形双纳米板的自由振动,采用类似的方法,通过原变量和对偶变量组成的哈密顿正则方程,得到原问题的频率方程。计算表明,在相同情况下,异步振动的频率最高,同步振动最低。并且非局部参数参数对基频影响较小,对高频影响很大。上述的研究结果表明,辛方法是一种有效解决纳米结构动力行为的方法,且精度高,计算方便,效率高。该方法具有很强的通用性,适合精确分析纳米材料的力学行为。