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本文共分三章.第一章为引言,给出了本文要研究的方程模型的来历,一些已有的结果和要用到的记号.
在第二章中,我们研究如下n维非线性广义波方程组的Cauchy问题
utt(x,t)-σ△u(x,t)-△utt(x,t)=△f(v(x,t)),x∈Rn,t>0,(1)
vtt(x,t)-△vtt(x,t)=△g(v(x,t)),x∈Rn,t>0,(2)
u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Rn,(3)
v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Rn,(4)
其中u(x,t)和v(x,t)是未知函数,△为n维Laplace算子,σ>0为常数,f(y)和g(y)是给定的非线性函数,u0(x),u1(x),v0(x)和v1(x)是定义在Rn上的初值函数.为此,我们将Cauchy问题(1)-(4)写成以下矢量形式
Wtt-△Wtt=△F(u,v,),x∈Rn,t>0,(5)
W(x,0)=W0(x),Wt(x,0)=W1(x),x∈Rn,(6)其中
W(x,t)=(u(x,t)v(x,t)),F(u(x,t),v(x,t),v(x,t))=(f(v(x,t))σu(x,t)g(v(x,t))),
W0(x)=(u0(x)v0(x)),W1(x)=(u1(x)v1(x)).
然后利用压缩映射原理证明Cauchy问题(5),(6),在空间C2([0,∞)；Hs(Rn)×Hs(Rn))(s>n/2)存在惟一的整体广义解和在空间C2([0,∞)；Hs(Rn)×Hs(Rn))(s>2+n/2)存在惟一的整体古典解,主要结果如下:
定理1假定s>n/2,W0,W1∈Hs×Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,g∈C[s]+1(R),g(0)=0,则Cauchy问题(5),(6)有惟一的局部广义解W∈C2([0,T0),Hs×Hs),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.进一步地,若
sup[‖W(·,t)‖Hs·×Hs+‖Wt(·,t)‖Hs×Hs]<∞,(7)
t∈(0,T0)则T0=∞.
现在,我们证明Cauchy问题(5),(6)解的延拓条件(7)转化为以下的解的延拓条件(8),即证明以下定理.
定理2假设s>n/2,W0,W1∈ Hs×Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,g∈C[s]+1(R),g(0)=0,则Cauchy问题(5),(6)有惟一的局部广义解W∈C2([0,T0)；Hs× Hs),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,进一步地,若
sup‖W(·,t)‖L∞×L∞0为常数,则Cauchy问题(5),(6)有惟一整体广义解W∈C2([0,∞),Hs×Hs).
注1若s>2+n/2,则Cauchy问题(5),(6)的整体广义解W(x,t)是整体古典解.
定理4设W0,W1∈ Hs×Hs,v1,Λ-1v1∈L2,g∈C(R),z(v0)∈ L1,f(v)=v,且
g(y)y≤2(1+2α)z(y),()y∈Rn,
其中α>0为常数,如果满足下面三个条件之一:
(1)E(0)<0,
(2)E(0)=0,〈Λ-1v1,Λ-1v0〉+〈v1,v0〉＞0,
(3)E(0)>0,〈Λ-1v1,Λ-1v0〉+〈v1,v0〉＞[E(0)(‖Λ-1v0‖2+‖v0‖2)]1/2,其中
E(t)=‖Λ-1v0‖2+‖vt‖2+2∫Rz(v)dx=E(0),
E(t)=‖Λ-1v0‖2+‖vt‖2+2∫Rz(v)dx=E(0)则Cauchy问题(5),(6)的广义解或古典解W(x,t)在有限时刻爆破.
第三章证明Cauchy问题(5),(6)在空间C([0,∞)；(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,P∩L∞∩L2))(m≥0)中存在惟一的整体广义解和在空间C3([0,∞)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩L∞∩L2))(m≥2+n/p)有惟一的整体古典解.主要结果如下:定理5假设W0,W1∈(Wm,P∩ L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩ L2),f,g∈Cm+1(Rn),且f(0)=0,g(0)=0,那么Cauchy问题(5),(6)有惟一局部广义解W∈C2([0,T0)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩L2))(m≥0),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间,进一步地,若
sup(‖W(·,t)‖(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,p∩L∞∩L2)t∈｜0,T0)
+‖Wt(·,t)‖(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,p∩L∞∩L2))<∞,
1≤γ≤∞,n=1;
1<γ≤∞,n=2;
n/2<γ≤∞,n≥3,使得｜g(v)｜≤A[z(v)1/2｜v｜+B,
其中A,B>0为常数,则Cauchy问题(5),(6)有惟一整体广义解W∈C3([0,∞)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩L2))和A-1ut∈C([0,∞)；L2).
引理1假设定理6的条件成立,f,g∈Ck+m+1(R),其中k≥0为任意常数,则Cauchy问题(5),(6)的广义解W(x,t)∈Ck+3+l([0,T]；(Wm-1,p∩ L∞∩ L2)×(Wm-1,p∩ L∞∩L2)),(()T>0),0≤l≤ m.
定理7设引理1的条件成立,且k=0,l=0,m>2+np,则Cauchy问题(5),(6)有惟一整体古典解W(x,t)∈C3([0,T]；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩ L2)),即W(x,t)∈C3([0,T]；(C2B(Rn)∩L∞∩ L2)×(C2B(Rn)∩L∞∩ L2)),其中C2B(Rn)由那些C2(Rn)中在Rn上所有有界的函数组成.