【摘 要】
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本文共分为四个部分.第一部分为本文的引言.主要介绍了椭圆偏微分方程水平集凸性问题的研究成果,及其发展趋势.同时又介绍了本文中所做的工作,即在二维和三维空间讨论了一个具体的椭圆偏微分方程水平集曲率估计.第二部分为为理论知识,重点为极大值原理及其有关的证明,另外介绍了一些关于凸水平集和函数水平集曲率矩阵的一些内容.第三部分和第四部分是在R2和R3中对特定的椭圆偏微分方程的解的水平集曲率进行了先验估计.
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本文共分为四个部分.第一部分为本文的引言.主要介绍了椭圆偏微分方程水平集凸性问题的研究成果,及其发展趋势.同时又介绍了本文中所做的工作,即在二维和三维空间讨论了一个具体的椭圆偏微分方程水平集曲率估计.第二部分为为理论知识,重点为极大值原理及其有关的证明,另外介绍了一些关于凸水平集和函数水平集曲率矩阵的一些内容.第三部分和第四部分是在R2和R3中对特定的椭圆偏微分方程的解的水平集曲率进行了先验估计.主要方法是：构造一个辅助函数,利用极大值原理约化到边界,利用边界的几何来给出水平集的曲率估计.主要结论如下：设Ω为R2或R3中的有界光滑区域,u∈C4（Ω）∩C2（Ω）,且u是椭圆方程△u=f（u,▽u）=（1+u2）|▽u|3,在Ω中的一个解.假设对x∈Ω,有|（?）u|≠0,而且u的水平集关于外法向Vu是严格凸的.令K是u的水平集的曲率或高斯曲率.则函数K在（?）Ω上取得极小值.
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