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本文共分两大部分：第一部分是耦合矩阵方程组问题和约束耦合矩阵方程组问题及其最佳逼近问题的迭代算法研究,包括第二章、第三章和第四章；第二部分是非线性矩阵方程Xs+(?)Ai*X-tiAi=Q的相关理论和迭代算法,是本文的第五章.具体内容如下：1.求解一般耦合矩阵方程组问题及其最佳逼近问题的迭代算法主要研究了一般形式的耦合矩阵方程组问题和最佳逼近问题的迭代算法.其最佳逼近问题可以转化为一个新的耦合矩阵方程组的极小范数(最小二乘)解问题.给出了三种计算耦合矩阵方程组解的迭代算法.第一种算法是Bi-CGSTAB算法,当耦合矩阵方程组有唯一解时,在不计舍入误差的前提下,该算法可以在有限步内终止.第二种算法是基于共轭梯度法思想构造的CG算法,在不计舍入误差的前提下,对任意的初始矩阵,CG算法能在有限步内获得其(最小二乘)解；如果对初始矩阵的取值方式加以限制,CG算法可以在有限步内获得其极小范数(最小二乘)解.第三种算法是基于块Bidiag1算法构造得到的LSQR算法,在不计舍入误差的前提下,当初始矩阵满足一定条件时,LSQR算法能在有限步内获得其(最小二乘)解；如果初始矩阵取为零矩阵,LSQR算法可以在有限步内获得其极小范数(最小二乘)解.2.求解单约束耦合矩阵方程组问题及其最佳逼近问题的迭代算法从算子角度,将十余种常见的单约束解(如对称、反对称、中心对称、反中心对称、自反、反自反、广义Hamilton解等)划归为一类特殊的算子约束解.研究了在单约束条件下,一般形式的耦合矩阵方程组的求解问题及其最佳逼近问题.其中的约束可以是同类约束,也可以是异类约束.其最佳逼近问题可以转化为一个新的单约束耦合矩阵方程组的极小范数(最小二乘)解问题.给出了两种计算耦合矩阵方程组单约束解的迭代算法：CG算法和LSQR算法.在不计舍入误差的前提下,对于满足单约束条件的任意初始矩阵,CG算法能在有限步内获得其约束(最小二乘)解,如果对初始矩阵的取值方式加以进一步限制,CG算法可以在有限步内获得其极小范数约束(最小二乘)解；当初始矩阵满足一定条件时,LSQR算法能在有限步内获得其约束(最小二乘)解,如果初始矩阵取为零矩阵,LSQR算法可以在有限步内获得其极小范数约束(最小二乘)解.3.求解双约束耦合矩阵方程组问题及其最佳逼近问题的迭代算法研究了在两个约束条件下,一般形式的耦合矩阵方程组的求解问题及其最佳逼近问题.其中的约束可以是同类约束,也可以是异类约束.给出了两种计算耦合矩阵方程组双约束解的迭代算法：CG算法和LSQR算法.在不计舍入误差的前提下,所提出的算法均可在有限步内获得双约束耦合矩阵方程组的约束(最小二乘)解,并可解决其最佳逼近问题.4.非线性矩阵方程Xs+(?)Ai*X-tiAi=Q的Hermitian正定解主要研究了非线性矩阵方程Xs+(?)Ai*X-tiAi=Q的相关理论和迭代算法.其中m为正整数,Q为n×n阶Hermitian正定矩阵,Ai为n×n阶非奇异复矩阵,s,ti>0,i=1,2...,m.给出了上述非线性矩阵方程解存在的充要条件、充分条件、必要条件等,并分s>1,0<ti≤1(i=1,2...,m)和s,ti∈Z+(i=1,2...,m)两种情况给出了求解上述非线性矩阵方程的迭代算法.