为了研究复平面c上的bi-Lipschitz映射单叶性问题和近似理论,1961年,John引进了一类域.此类域于1978年被Sarvas和Martio命名为John域；为了推广Ahlfors关于拟圆中共形映射单叶性等性质的研究,1978年,Sarvas和Martio提出了一类新的域：一致域.作为一致域的推广,Vaisala定义了一致John域.同时,作为双曲度量的推广,Gehring和Palka于1976年引入拟双曲度量.由于这些域及拟双曲度量与分析、几何等领域研究的密切联系,从而引起了人们的极大关注.本学位论文的研究主要包括两个方面：第一,利用拟双曲度量、j*D度量、p-Apollon度量等来刻画一致John域.第二,讨论拟双曲几何的有关性质以及双曲余弦不等式.本文由三章构成,具体内容如下：第一章,主要介绍研究问题的背景和得到的主要结果.第二章,主要研究了p-Apollon度量和一致John域的关系：利用p-Apollon度量得到了一致John域的一个充要条件,并且构造两个例子说明此充要条件中有关系数的不可去性.第三章,研究了拟双曲几何中的相关性质：得到了欧氏几何中对应的Pappus公式、Stewart定理、Lagrange定理,并建立了双曲余弦不等式.此不等式给出了K1én公开猜测的肯定解决.