【摘 要】
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简单图是有限集的二元子集系统,描述有限个对象的二元关系.矩阵在刻画简单图的结构性质方面发挥重要作用,由此产生谱图理论研究.为了描述有限个对象的多元关系,研究者提出超图的概念,即有限集的子集系统.自2005年祁力群和林力行独立引入了张量的特征值以来,研究者应用邻接张量来表示超图,并用其特征值刻画超图的结构性质.超图的谱已成为当前代数图论和谱图理论研究的热点问题.张恭庆,杨庆之,Friedland等把
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简单图是有限集的二元子集系统,描述有限个对象的二元关系.矩阵在刻画简单图的结构性质方面发挥重要作用,由此产生谱图理论研究.为了描述有限个对象的多元关系,研究者提出超图的概念,即有限集的子集系统.自2005年祁力群和林力行独立引入了张量的特征值以来,研究者应用邻接张量来表示超图,并用其特征值刻画超图的结构性质.超图的谱已成为当前代数图论和谱图理论研究的热点问题.张恭庆,杨庆之,Friedland等把非负矩阵的Perron-Frobenius定理推广到非负张量上.根据此定理,对连通k-一致超图G,其邻接张量A(G)的谱半径ρ(G)是A(G)的特征值,且对应唯一的正特征向量(在相差一个正常数倍意义下).由于张量的特征值可能是复数或仅对应复特征向量,研究者关注H-特征值,即有实特征向量与之对应的特征值.显然,超图的谱半径是最大H-特征值,因此是超图谱理论重要研究对象.相比而言,A(G)的最小H-特征值很少受到关注.记λmin(G)为连通k-一致超图G的最小H-特征值,其中k为偶数.2014年,Nikiforov应用点数和边数给出λmin(G)下界.2015年,邵嘉裕等证明-ρ(G)是G(最小)H-特征值当且仅当k是偶数且G是奇二部的.所以,对于奇二部超图,最小H-特征值的研究等价于谱半径的研究.2016年,范益政等构造了一个非奇二部超图序列,其最小H-特征值收敛于极限点(?).对于非奇二部超图G,-ρ(G)不是G的H-特征值,但有可能是G的特征值(N-特征值).2017年,Nikiforov证明-ρ(G)是G的特征值当且仅当G是奇可染的.Nikiforov,范益政等构造奇可染的但非奇二部的超图.2019年范益政等给出超图奇二部和奇可染的比较系统的等价刻画.本文主要研究两类超图,即含割点的超图和乘积超图的最小H-特征值.在第二章,我们首先给出超图最小H-特征值的一个上界,刻画含割点超图的第一特征向量(即对应最小H-特征值的实特征向量)的若干性质,获得了含割点超图在其分支从一个点迁移到另一点下的最小H-特征值的扰动结果.利用该扰动结果,我们刻画了某类超图的最小超图,即最小H-特征值达到最小的极图.在本文第三章,我们考虑超图的两类乘积:笛卡尔积G□H和直积G × H的最小H-特征值.应用Z2上的关联矩阵方程,我们证明G□H是奇二部的当且仅当G和H都是奇二部的.我们证明λmin(G□H)=λmin(G)+λmin(H)对于超图的直积,我们证明:如果G或者H是奇二部的,则G × H是奇二部的在此情形下,λmin(G × H)=-(k-1)!ρ(G)ρ(H).一般情形下,λmin(G ×H)≤min{(k-1)!λmin(G)ρ(H),(k-1)!ρ(G)λmin(H)}.
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