自然界中的粒子按自旋量子数分类,存在费米子和玻色子两种基本粒子,它们的统计服从不同的规律。玻色子在零温时全部占据系统的最低能态,形成玻色-爱因斯坦凝聚,而费子的填充方式则是服从泡利不相容原理,每个能级只能填充自旋不同的粒子,满足Fermi-Dirac统计规律。目前的实验技术能将粒子在某些方向的运动限制在基态能级的零点振动上,从而形成低维系统。低维系统中存在许多高维系统所不具有的有趣的物理性质与现象。低维系统在实验上的实现,导致了一些低维系统问题不仅在理论上可以精确求解,也可以直接在实验中验证。光晶格中的冷原子实验为模拟凝聚态系统哈密顿量开辟了一个新的天地,在冷原子实验中,可以很好地对哈密顿参量进行控制,如相互作用强度,限制势场强度,有效维度,甚至无序,这为模拟固体中很多悬而未决的问题提供了非常有效的途径。　　 我们基于Bethe-ansatz精确解和局域密度近似,用自旋密度泛函的方法,求解了一维量子气体的一些模型。本文的框架是这样的:　　 在第一章中,我们介绍了冷原子和一维系统的一些背景知识。在本文的第二章中,我们求解了谐振势中两组分一维自旋极化费米气体的基态性质。这里分三个部分进行讨论:(1)Speckle无序对一维自旋费米气体的影响。对于无外势的均匀系统,当基态是完全配对的Bardeen-Cooper-Schrieffer(BCS)相,或部分极化的Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)相,或完全极化的正常相。当系统中存在谐振势但没有无序时,系统成为两相混合的状态:中间部分是FFLO相,边缘部分或为BCS相,或为正常相。这之间存在一个临界相,即纯的FFLO相。我们发现当外势和无序共同存在,总极化强度固定时,随着无序振幅的增强,系统能从FFLO-BCS相变为FFLO—N相；(2)连续空间中一维自旋费米气体的的Wigner晶格化现象。我们讨论了从2kF→4kF的转变,在排斥相互作用增强的时候,会出现反铁磁序;(3)一维与自旋有关谐振势中,连续费米气体的相分离。我们计算了其基态密度分布,并考虑了与自旋有关的外势与相互作用的竞争,求解了相分离的情况,并得到相分离的临界点。　　 第三章中我们研究了热力学Hubbard模型。求解了无限阶热力学Bethe-ansatz方程后,我们得到了化学势与粒子数密度的关系。我们用Euler-Lagrange和热力学密度泛函方法,得到了系统在有限温度下的粒子数密度分布,发现两者符合得非常好。在热力学Hubbard模型中,我们可以得到低温时系统存在Mott相和band相,这是零温时的密度泛函所不能得到的,但是较高的温度,这些绝缘相因为热涨落而消失。　　 在第四章中,我们研究了热力学玻色系统模型。同样我们用Euler-Lagrange和热力学密度泛函方法,求得了其密度分布。我们发现当相互作用比较小时,两者有一定的差别,但在当相互作用很大时,两者符合得很好。我们还将其结果与强相互作用极限下的解进行比较,它们符合得很好。