【摘 要】
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本论文研究的内容属于压缩感知和凸几何分析,这两个方向存在紧密关系,尤其在集中不等式方面的研究尤为突出,并且他们在图像处理,信息论和分析学等领域有广泛的应用.本文主要致力于相位复原问题和Brunn-Minkowski型不等式的研究,这是压缩感知理论和Brunn-Minkowski理论研究的热点问题之一,内容涉及相位复原问题,对偶Lp-Brunn-Minkowski理论中的一个极值问题,Orlicz差
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本论文研究的内容属于压缩感知和凸几何分析,这两个方向存在紧密关系,尤其在集中不等式方面的研究尤为突出,并且他们在图像处理,信息论和分析学等领域有广泛的应用.本文主要致力于相位复原问题和Brunn-Minkowski型不等式的研究,这是压缩感知理论和Brunn-Minkowski理论研究的热点问题之一,内容涉及相位复原问题,对偶Lp-Brunn-Minkowski理论中的一个极值问题,Orlicz差体以及径向Blaschke-Minkowski同态.从组合优化到物理科学,相位复原在衍射成像、X射线晶体学以及电子显微镜等领域都有着十分广泛的应用.因此我们考虑相位复原问题:该问题可表示为yi=|<ai,x>|2,i=1,2,…,m,其中yi是已知的数据,ai∈Rn是已知的设计向量以及x ∈ Rn是未知的.在第二章,对于该问题我们引入一个具体的算法:牛顿算法.简而言之,获得一个好的初始值基于截断谱方法,更新迭代采用牛顿迭代步.我们证明了该算法在实数情况下具有二阶收敛速度,并且对于大残量问题也成立.本文在第三章研究了保体积仿射变换下的最大p-对偶表面积（0<p<n）.并证明了,在假设1下,凸体的p-对偶表面积在仿射变换下达到最大当且仅当该凸体的p-对偶表面积测度在球面Sn-1上是迷向的,对于p-对偶表面积迷向凸体我们给出了相关结果,同时也得到了等周不等式及其相关性质.估计特殊凸体（如差体或者反射体）的体积是非常重要的,其中经典的不等式就是关于差体的Rogers-Shephard不等式.受Hernandez Cifre和Yep-es Nicolas在[64]启发,第四章的兴趣在于是否存在一个常数cφ,n>0（仅依赖于维数n和φ）,使得V（[K+φ（-K）]*）/V（K*）有界?对上述问题我们给出否定的回答.并且给出了极体的Brunn-Minkowski型不等式.截面体对解Busemann-Petty问题起到至关重要的作用.Schuster在[97]引入了径向Blaschke-Minkowski同态,它是更一般的截面体算子.随着Orlicz-Brunn-Minkowski理论的发展,第五章在Orlicz空间下,我们确立了关于径向Blaschke-Minkowski同态的Brunn-Minkowski型不等式.最后我们也得到了一个体积差函数的Brunn-Minkowski型不等式.
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