分数阶微积分理论是数学的一个重要分支,它几乎与经典微积分理论同时诞生,可以看作是经典微积分的重要推广.近二十年来,由于分数阶微分算子所独具的非局部性,以及其在刻画现实中具有记忆与遗传性质的材料的非常适用性,分数阶微分方程在包括自然科学与工程的许多领域的建模中,受到了广泛的关注,且得到了广泛的应用.由于绝大多数分数阶微分方程是无法求得解析解的,且即使可以求得解析解,但解析解中通常含有形式极其复杂而又难以计算的特殊函数,如Mittag-Leffler函数、Wright函数等,故数值求解分数阶微分方程成为数值计算工作者迫在眉睫的任务.就本文所研究的分数阶扩散类方程,近十几年来,数值工作者提出了一些数值方法,做出了一定的贡献.迄今为止,如何构造求解分数阶扩散类方程的高阶精度数值方法,与空间精度相比较,关键的问题在于改进时间精度.但在2015年之前,所提出的数值方法至多取得二阶时间精度,且未曾见所谓基于一阶导数的二阶紧致逼近公式的构造方法.在本文的第一章中,我们描述了分数阶微积分的发展历史,阐述了本文的研究内容及研究动机,并介绍了常用分数阶导数的概念和若干性质;在本文的第二章和第四章中,基于数值积分方法,我们分别提出了求解修正分数阶扩散方程的数值方法与求解分数阶反常次扩散方程的数值方法;在本文的第三章、第五章和第六章中,基于一阶导数的二阶紧致逼近公式,我们分别提出了求解修正分数阶扩散方程的数值方法、求解分数阶反应-次扩散方程的数值方法以及求解分数阶Cable方程的数值方法.本文所提出的五种数值方法均具有二阶时间精度和四阶空间精度.应用代数理论,五种数值方法的可解性分别被证实;通过Fourier分析,我们分别分析了五种数值方法的稳定性和收敛性;就五种数值方法,我们也分别进行了数值试验,且数值试验均强有力地支持我们的理论分析结果.