有限域上纠错码理论的研究虽然已经比较完善且也已经广泛应用于各种通信系统和计算机系统中,但仍然存在着许多问题有待解决需要进一步的丰富和发展。自20世纪末期,为了保证量子计算与量子通信能够实现,量子纠错码孕育而生。1998年,Calderbank等给出了量子纠错码的数学形式,且提出了一种系统而有效的构造量子纠错码的数学方法。这极大地激发了广大编码工作者对构造量子纠错码的热情,使得构造量子纠错码成为研究的热点问题。随着人们对量子纠错码理论的深入研究,量子同步码和纠缠辅助量子纠错码作为两种新型量子纠错码被提出且受到了广大学者的关注。循环码和广义Reed-Solomon码是有限域上两类重要的线性码。本文首先构造了三类最优的三元循环码,并完全确定其对偶码的重量分布。其次,又完全确定了一类具有三个非零点的p元循环码在所有不同条件之下的重量分布,并介绍其在密钥共享方案中的应用。此外,本文利用阶为4的分圆类得到了两类对偶包含的循环码,并基于这些码与其扩张码构造了两类新的量子同步码。最后,本文分别应用广义Reed-Solomon码的生成矩阵与校验矩阵的性质和厄米特hull的维数构造了数类新的纠缠辅助量子纠错码。具体研究内容如下:1)本文证明了三类三元循环码是最优的,即它们达到了某些特定的界,并完全确定了其对偶码的重量分布。结果表明它们的对偶码有很少的非零重量且其中也存在着一些最优码。2)本文完全确定了一类p元循环码在所有不同条件之下的重量分布。通过具体例子表明这些p元循环码中有一些是已知最好的码。此外,这类p元循环码的覆盖结构被研究并应用于构造密钥共享方案。3)本文通过阶为4的分圆类构造一些循环码,并利用这些循环码构造了两类有较好参数的量子同步码。这些被构造的量子同步码是CSS量子纠错码且它们能够容忍最大数量的偏移误差错误。此外,这些量子同步码通常具有较好的比特纠错能力和相位纠错能力,因为用来构造它们的循环码中有许多是最优的或者几乎最优的。4)本文通过对有限域上广义Reed-Solomon码生成矩阵和校验矩阵的研究,构造了两类纠缠辅助量子纠错MDS码。推广这两个结论,本文又得到了四类新的纠缠辅助量子纠错码。这些纠缠辅助量子纠错MDS码比量子纠错MDS码具有更大的最小距离,且它们中的大多数和之前已知的纠缠辅助量子纠错MDS码有着不同的参数。特别地,本文所构造的纠缠辅助量子纠错MDS码之中有一些比已知的具有相同长度和纠缠态的纠缠辅助量子纠错MDS码具有更大的最小距离上界。最后,本文通过对有限域上广义Reed-Solomon码厄米特hull的维数的研究,构造了三类纠缠辅助量子纠错码和三类纠缠辅助量子纠错MDS码。与已知的纠缠辅助量子纠错码比较,这些码都是新的且它们的纠缠态能够取各种不同的值。此外,这些码具有更加灵活的长度。