一个图是k-可着色的,如果它的点集可以被划分为k个独立集。这是正常着色。本文主要研究非正常着色。设d1,d2,...,d2为k个非负整数。如果可以将G的顶点集V划分为fκ个子集V1,V2,...,Vk,使得对于任意的i=1,2,...,k,Vi的点导出子图G[Vi]的最大度数至多为di,则称图G是(d1,d2,...,d4)-可着色的。图中最短圈的长称为图的围长。著名的四色定理证明了每个可平面图是4-可着色的。由于存在不可.3各着色的平面图,那么寻找.3-可着色的充分条件引起了大多数研究学者的注意。关于3-着色最著名的结果是:没有3-圈的可平面图是3-可着色的。目前其他研究成果还有:没有(4,5,6,9)-圈的可平面图是3-可着色的,·没有(4,5,7)-圈的可平面图是3-可着色的;没有(4,5,8,9)-圈的可平面图是3-可着色的;没有(4,6,7,9)-圈的可平面图是3-可着色的;没有(4,6,8)-圈的可平面图是3-可着色的;没有(4,7,8,9)-圈的可平面图是3-可着色的。所有可平面图是(2,2,2)-可着色的。对于任意的(d1,d2),由于存在围长大于等于4的不可(d1,d2)-着色的平面图,因此我们考虑非正常二着色的问题都是在没有4-圈的基础上。目前已有的结论有:围长大于等于5的可平面图是(1,10),(2,6),(3,5),(4,4)-可着色的。对于任意非负整数d,围长大于等于6的可平面图是不可(0,d)-着色的。围长大于等于7的可平面图是(0,4)-可着色的。最近,Choi,Liu和Oum证明了没有4-圈的可平面图是(5,5)-可着色的。在本文中,我们进一步对没有4-圈的图的结构进行深入研究,证明了没有4-圈的可平面图是(4,4)-可着色的。