本文定义了n-维辛流形(M，ω)上一系列的Euler-Lagrange上同调群H(k)EL(M，ω)，(k=1，3，…，2n-1)，并对其性质进行了深入的研究。当k=1和k=2n-1时，相应的Euler-Lagrange上同调群分别同构于M的第一和第2n-1个de Rham上同调群，而其他的群则既不是de Rham上同调群，也不是(M，ω)上的调和群，而是一些新的概念。　　作为这一工作的一个重要结果，我们把Hamilton方程推广成为辛流形上的保体积系统的方程，即，Liouville定理意义下的保体积方程。Hamilton方程对应于H(1)EL（M，ω）中的平凡的等价类，而保体积系统的方程则对应于H(2n-1)EL（Mω）中的平凡的等价类。这一方程的推出给我们提出了许多富有挑战性的课题，例如量子化问题、统计物理中的应用等等。　　本文还给出了Euler-Lagrange相对上同调的概念并作了一些探讨。可以预期，它们和KAM定理等有着密切的联系。