在科学与工程计算中,有很多大型应用问题需要物理与数学工作者通过构建模型进行数值模拟.通过分析模型,设计数值计算方法,进行快速求解,从而对所研究的现象有更进一步的认识.在很多领域中,偏微分方程（PDE）是最常用的描述问题的数学模型.近年来,由于分数阶微分算子可以精确描述反常扩散过程,成为更精确描述模型的重要工具.相较于整数阶偏微分方程,在模拟记忆效应,扩散运动以及遗传性质等方面运用分数阶偏微分方程更为精确,因此在信号处理,超导,流体力学等方面有广泛应用.与整数阶偏微分方程不同的是,由于分数阶偏微分方程离散后线性系统的系数矩阵非常稠密,造成计算量与内存需求十分庞大,计算时间较长,为深入研究造成了诸多障碍.如何利用数值方法进行离散,并通过对离散系统系数矩阵代数结构的研究,设计高效,快速,稳定的快速算法就成了工程应用实际问题中进行模拟仿真的首要且十分关键的问题.本文主要研究三类分数阶偏微分方程快速求解问题以及两类基于分数阶模型的实际应用.通过构造数值格式,并针对不同问题模型离散得到的线性系统的结构特点,我们采用矩阵分裂迭代法或预处理技术设计一系列高效、经济的快速求解策略,对不同类型分数阶偏微分方程进行数值求解.全文共有七章内容:第一章详细介绍所研究课题的科学背景、研究意义以及研究现状,并简要介绍本文的主要研究内容和创新点.第二章主要研究一维空间分数阶Ginzburg-Landau方程的快速迭代解法.通过有限差分离散,得到具有类Toeplitz结构的复线性系统,并针对系统的结构特征,设计出一类新的矩阵分裂迭代法,并结合循环预处理,实现快速运算.迭代法的收敛性证明了该方法的有效性.数值实验验证了所提出方法的高效性.第三章主要研究二维空间分数阶Ginzburg-Landau方程的快速数值解法.首先,针对方程设计了一种交替方向隐式（ADI）差分格式,将方程离散为两个线性子系统,并设计了一种分别放缩的矩阵分裂迭代法,进行快速求解,并证明其收敛性.数值实验显示所提出方法的经济性与高效性.第四章主要研究二维时间空间分数阶Stokes方程,构造了一种离散线性系统的快速求解方法.我们通过有限差分离散,线性系统系数矩阵包含内嵌BTTB（blockToeplitz-Toeplitz-block）的鞍点结构形式.由于我们可凭借循环逼近和快速傅立叶变换（FFT）求解所涉及的线性子系统,使得这种新的求解方法具有计算优势.理论分析表明,预处理系数矩阵的大多数特征值聚集在1附近,这表明所提出的预处理子可以有效改善系数矩阵的条件数.数值例子证实了所提方法的优越性.第五章主要研究基于二维空间分数阶Cahn-Hilliard方程的图像恢复模型.通过有限差分离散与JFNK（Jacobian-free-Newton-Krylov）迭代,得到的含有不定矩阵与BTTB结构的2×2分块结构的Jacobian矩阵,并构造了一类高效的预处理子.相应预处理系统的特征值聚集在1附近,进一步,通过对BTTB结构进行循环近似,使其能够通过FFT进行快速计算,体现其更加经济高效的特点.最后通过数值实验证实了所提出的快速算法对图像恢复过程的高效性与鲁棒性.第六章主要研究基于欧式期权两资产的时间空间分数阶Black-Scholes定价模型的快速数值解法.首先通过隐式差分法对模型离散,并对得到的线性系统的结构进行研究后,提出了一类时间并行双对角线预处理子.理论分析与实验证明,预处理系统系数矩阵的谱聚集于1附近,能够有效加速Krylov子空间方法对线性系统求解,表明所提出方法的高效性.第七章对全文做概括总结并对未来将要开展的工作进行展望.