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环的素谱和谱空间理论起源于仿射代数簇（又称代数流形）的研究。现已广泛应用于许多数学分支中，如代数几何、层论、C<＊>-代数、拓扑学、环论、模论、格论和群论等。
本文包括序言和六章正文。如果R是交换环，则素谱Spec（R）是Zariski拓扑空间且构成一个谱空间。本文考虑非交换环上的素谱的拓扑。设R是任意环，且？，其中Ｉ是环R的右理想，Spec<,r>（R）（Spec<,ι>（R））为R的所有右素理想（左素理想）的集合，则U<,r>（0）=？且U<,r>（R）=Spec<,r>（R）。如果ζ（R）表示所有形如的Spec<,r>（R）中的集合簇，其中L<,sα>是右理想且s<,α>（a∈Γ）是正整数，则ζ（R）包括空集和Spec<,r>（R）且它在任意并和有限交运算下封闭，因而Spec<,r>（R）自然地被赋予了弱Zariski拓扑。特别如果开集簇{U（I）｜I∈Id<,r>（R）}构成了拓扑空间Specr<,r>（R）的拓扑基，则环R被称为右拓扑环。如果环R不是右quasi-duo环，则spec<,r>（R）就是弱Zariski拓扑空间但并非Zariski拓扑空间（定理1.2.3）。Sun首先研究了空间Spec<,r>（R）上的弱Zariski拓扑及其性质。
在第一章、第二章和第三章里，我们研究了各种各样环性质与拓扑性质之间的关系。一个熟知结果是：如果R是交换环，则R的所有的幂等元和Spec（R）中的开闭集是1-1对应的（McDonald。我们分析了这些条件且将几个已有的交换环的结果推广到了非交换环上。命题1.3.6表明：若R是Abel环，则R中的幂等元和Spec<,r>（R）中的开闭集1-1对应，且它们各自构成的格是同构的。
在第一章里，定理1.2.11表明：一个正则环R是右拓扑环当且仅当它是Abel环。且对任意环R下列结果成立：
（1）对任意Spec<,r>（R）中的开闭集U，都存在环R的一个开闭（clopen）幂等元e，使得U=U<,r>（eR）（定理1.3.4）；
（2）Spec<,r>（R）是连通的，当且仅当Spec<,l>（R）是连通的，当且仅当Spec（R）是连通的，当且仅当环R的开闭幂等元只有0和1（定理1.3.11）。
Mulvey为了把Gelfand对偶从C<’*>代数推广到一般环上，引入了GeLfand环的概念（见Borceux和Van den Bossche。Mulvey用Gelfand环上模范畴和它对应紧的环化空间上的模范畴的等价，推广了Swan的关于紧的拓扑空间上的切向量丛定理。Carral研究了交换的Gelfand环上的代数K-理论。本文用Max<,r>（R）（Max<,l>f（R））表示R的所有右（左）极大理想的集合且用Prim<,r>（R）（Prim<,l>（R））表示R的所有右（左）本原理想的集合。在第二章我们主研究Gelfand环与它的素谱的拓扑性质之间的关系且证得如下命题对任意环R成立：
（1）R/N（R）是Gelfand环，当且仅当Spec<,r>（R）是正规空间，当且仅当Spec<,l>（R）是正规空间，当且仅当Max<,r>（R）是Spec<,r>（R）的保核收缩（retract）（定理2.3.6）；
（2）R/J（R）是Gelfand环，当且仅当Max<,r>（R）∪Prim<,r>（R）是Hausdorff空间，当且仅当Max<,l>（R）∪Prim<,l>（R）是Hausdorff空间，当且仅当每一包含J（R）的右素理想被包含在唯一极大右理想中（定理2.3.8）。
设A=∪P∈Prim<,r>（R）？（R），其中？（R）={Q∈Spec<,r>（R）∣P是包含在Q中的最大理想}。第三章定理3.2.2表明：R是右quasi-duo环，当且仅当A=∪P∈Prim<,r>（R）？（R）是Zariski拓扑空间，当且仅当A中每一个右素理想Q是不可约的。Lam和Dugas［33］（2005）提出一个公开问题：一个右quasi-duo环是否是左quasi-duo环？因此这一问题等价于：如果∪P∈Prim<,r>（R）？（R）是Zariski拓扑空间，是否∪P∈Primf<,l>（R）？（R）也是Zariski拓扑空间呢？另外在第三章我们证得对任意环R如下结果成立：
（1）对Max<,r>（R）∪Prim<,r>（R）的（或Prim<,r>（R）的）任意开闭集U，存在e∈R且e<2>-e∈J（R）使U=U<,r>（eR）∩［Max<,r>（R）∪Prim<,r>（R）］（或使U=U<,r>（eR）∩Prim<,r>（R））（定理3.3.1）；
（2）Spec<,r>（R／J（R））是连通的，当且仅当Max<,r>（R）∪Prim<,r>（R）是连通的，当且仅当Prim<,r>（R）是连通的，当且仅当Max<,l>（R）∪Primf（R）是连通的（定理3.3.6）。
用Spec<,r >（M）表示右R-模M的所有素子模的集合，则它也是一个弱Zariski拓扑空间。设U<,r>（N）=｛K？N｜K∈Spec<,r>（M）｝，其中N∈Lat（M）（M的子模格），若开集簇{U<,r>（N）｜N∈Lat（M）｝形成了Spec<,r>（M）的一个拓扑基，则M被称作是拓扑模。右R-模M被叫乘法模，是指每一M的子模N，都存在R的理想I使Ⅳ=MI。一切乘法模都是拓扑模，但拓扑模不一定是乘法模（见例6.3.2（3））。自上世纪八十年代以来，乘法模一直是一个热门研究课题，可参看Abd El-Bast和Smith［1］（1988），Barnard［7］（1981），Anderson［4］（2000），Anderson和AI-Shaniafi［5］（2002），Low和Smith［35］（1990），P.F.Smith［52］（1988），W.W.Smith［53］（1968），Tuganbaev［67］（2003）等。
在第四章我们证明了：在强duo环R上一个有限生成右R-模M是拓扑模当且仅当M是乘法模，当且仅当Max<,T>（M）={MQ｜Q∈Max（R），其中Q ？ M<？>}，当且仅当M的每一个素子模是不可约的（定理4.2.6）。此外，几个已有的交换环上的乘法模的结果被推广到了非交换环上。
在第五章我们仅仅考虑交换环上的乘法模。用Spec（M）（MaX（M））表示交换环R上的模M的所有素子模（所有极大子模）的集合。一个R-模M被叫作pm的，是指M的每一个素子模被包含在唯一一个M的极大子模中。在交换环R上我们证明了如下结果成立：
（1）若M是有限生成R-模，则M是乘法模当且仅当Spec（M）是一个谱空间，当且仅当Spec（M）={PM｜P∈Spec（R）且P？M<？>）（定理5.3.12）；
（2）设M是有限生成的是乘法模，则
（i）M是pm的当且仅当MaX（M）是Spec（M）的保核收缩，当且仅当Spec（M）是正规空间，当且仅当M是弱Gelfand模（定理5.3.9）；
（ii）M是Gelfand模当且仅当Lat（M）是弱正规的（定理5.2.13）；
（3）若M是乘法R-模，则Spec（M）是正规空间当且仅当Lat（M）是弱正规的（定理5.2.12）。
在第六章我们主要研究右拓扑R-模。任意的单列（uniserial）右R-模是拓扑模。定理6.3.8表明：若M是右拓扑R-模，则对R的任意的极大理想
Q，M／MQ是单列右R-模。若R是单环，则右R-模M是拓扑模当且仅当R-模M是单列模（命题6.3.5）。若非零Artin半单环R=R<,1>⊕R<,2>⊕…⊕R<,n>，其中R<,i>（i＝1，2，…，n）是单环，则右R-模M是拓扑模当且仅当每一个MR<,i>（i=1，2，…，n）是单列右R-模（定理6.3.14）。如果R是右quasi-duo完全环且M是右拓扑R-模，则M是一个循环模（推论6.3.16）。此外，几个已知乘法模的结果被推广到右拓扑模上。