机械设备是现代制造工程的关键组成部分,是经济建设和社会进步的重要物质基础,但是随着时间的推移,机械设备及其零部件在运行过程中会受到损伤继而出现故障,造成经济损失甚至灾难。机械故障诊断技术的研究是保证安全运行、降低损失的重要手段,具有重大研究意义,其关键在于从信号中提取故障特征,由于振动信号中蕴含了大量设备运行信息,所以振动信号分析是常用的故障诊断方法。存在故障的机械设备,其振动信号一般会表现出非平稳的特性,传统非平稳信号分析方法如短时傅立叶变换、希尔伯特黄变换、小波变换、局域均值分解、数学形态学变换等都各自存在一定的局限性,因此新的理论和方法的研究与探索仍是十分必要的。偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE)作为一个重要的数学分支,具有坚实的理论基础,而且具有很强的局域自适应性、良好的保边降噪性能和高度的灵活性,是一种数据驱动的处理方法,因此被广泛应用于图像处理和计算机视觉领域,但是在一维信号分析中的应用还很少。本文的研究旨在运用偏微分方程理论,实现常见机械设备如转子系统、齿轮和轴承的故障诊断,主要工作和研究成果如下：(1)列举了图像处理中几种常用的偏微分方程,描述了各自的特点,介绍了偏微分方程的基本理论及数值求解方法,为后续章节的分析奠定理论基础。(2)对转子系统典型故障的产生机理与振动信号特征进行阐述；针对偏微分方程中的经典模型—P-M各向异性扩散方程只对单一高斯噪声有效,而不能有效滤除随机脉冲噪声的不足进行改进,提出了一种自适应梯度阈值的P-M扩散模型,并将其用于转子系统振动信号降噪预处理,然后计算降噪后信号的关联维数,最后采用LSSVM进行故障识别,实验表明该方法能够有效区分不同的运行状态。(3)对齿轮典型故障的产生机理与振动信号特征进行阐述；针对传统LMD算法中滑动平均的平滑长度选择困难、计算成本高的问题,提出了一种偏微分方程理论框架下的LMD算法-PDE-LMD算法,并将其应用于齿轮振动信号分解,然后计算不同PF分量的排列熵,实现了多尺度上的排列熵分析,并将其作为齿轮状态特征量,实验表明该方法可以有效识别不同的齿轮运行状态。(4)对滚动轴承典型故障的产生机理和振动信号特征进行了阐述；运用偏微分方程分解技术对滚动轴承振动信号的小波时频图像进行分解,得到结构子图像和纹理子图像,然后以纹理子图为研究对象,通过计算表征其纹理特征的灰度共生矩阵,并以其中六种特征量为轴承运行状态识别的依据,再通过LSSVM进行分类识别,实验表明特征向量选取合理,能够有效识别滚动轴承的不同运行状态。(5)将形态分量分析引入齿轮箱复合故障诊断。由于强噪声背景下,形态分量分析的结果会受到干扰,因此提出了一种基于偏微分方程降噪和形态分量分析相结合的方法,首先使用偏微分方程对振动信号进行降噪预处理,再使用形态分量分析通过构造不同的字典提取不同形态的信号成分,最后利用Hilbert包络谱提取故障特征,实验表明了研究方法的有效性。