对时间的分数阶导数是一类Volterra积分,其核函数刻画了事物发展记忆过程的本质,因而分数阶微积分被认为是适合描述具有较强历史依赖性过程的数学工具。记忆效应在现实生活中普遍存在,如何建立具有合理的物理背景且符合实际模型的分数阶模型是力学、材料和工程等学科的研究热点,也是难点之一。本文主要以记忆效应为背景,对具有记忆效应的实际模型建立其具有分数阶导数的数学模型,讨论分数阶导数对模型的动力学行为的影响,探索相关实际现象产生的机理。本文主要研究内容如下:1、基于惠普实验室的实物忆阻的边界效应,建立了分数阶HP TiO₂忆阻模型。讨论了分数阶HP TiO₂忆阻元件的本质特性,得到了分数阶HP TiO₂忆阻的迟滞回线所围面积的计算公式,发现分数阶导数阶数对忆阻元件本质特性有规律性的影响。最后,讨论了该忆阻元件与电容或电感串联组成的单口网络的伏安特性。结果表明,串联电路的忆阻性随分数阶导数阶数的改变而向电容性或电感性转移。2、以记忆效应为依据,提出了一局部有源的非线性分数阶忆阻器模型。此局部有源的分数阶忆阻模型仍具有忆阻的本质特征;在相同的条件下,分数阶忆阻模型比同类型的整数阶忆阻模型需要更多的时间到达稳定状态。同时分数阶导数的阶数、周期外激励的频率对分数阶忆阻的记忆效应均有影响。在具有局部有源的分数阶忆阻模型的忆阻电路中,当分数阶导数阶数从0变化至1时,所建立的分数阶忆阻电路系统通过倍周期分岔进入混沌。同时发现,指数为2的鞍点在分数阶系统中未必有混沌吸引子。3、基于电容的记忆效应,提出一个分数阶时滞PLL模型。利用拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换,把给定初始条件的分数阶PLL的解分成两部分:一部分是系统解的主要部分,与系统的特征根相关,用于系统解的稳定性分析;另一部分是以零为极限的积分项。因此,具有时滞的分数阶PLL模型的Hopf分岔的存在性归结为系统特征方程特征根的分布。然后利用伪振子分析法给出了系统分岔周期解的近似表达式、分析分岔周期解的稳定性,结果得到了数值验证。总结发现选取恰当的分数阶导数阶数,可以减小分数阶时滞PLL系统的锁定时间,减小分岔周期解的幅值。4、作为整数阶时滞系统边界定理的推广,给出了判别一类分数阶时滞系统的BIBO区间稳定性的边界定理。通过构造反例说明分数阶时滞系统在系统参数取值区间的端点处的BIBO稳定性不能保证在参数在区间内其它点处取值时的BIBO稳定性,然后证明了多面体的BIBO稳定性由多面体边界的BIBO稳定性决定,最后给出了通过频率响应图逐步验证的数值算例。5、采用由闭轨分支出极限环的思路给出了伪振子分析法的严格证明,并把伪振子分析法的结果加以推广,使其能够应用于高阶Hopf分岔问题。研究发现,分岔周期解的稳定性分析需借助高于三次的非线性项来实现。基于分岔周期解的特征,给出了分岔周期解的近似表达式,通过数值算例检验了伪振子分析法的有效性。