【摘 要】
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图谱理论是研究图的谱性质以及图的结构与图的谱性质之间关系的一个图论分支。图谱理论在很多研究领域都有着显著的应用。图的谱性质包括图的邻接矩阵,拉普拉斯矩阵以及距离矩阵等一些和图有关的矩阵的谱性质。在本文中,讨论了图的邻接矩阵谱性质的相关结论,主要涉及到图的邻接矩阵的零特征值,最小特征值,谱半径以及正负特征值的平方和。具体内容如下。在第二章中,讨论了在Wang等人给出的零度上下界|V（G）|-2m（G
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图谱理论是研究图的谱性质以及图的结构与图的谱性质之间关系的一个图论分支。图谱理论在很多研究领域都有着显著的应用。图的谱性质包括图的邻接矩阵,拉普拉斯矩阵以及距离矩阵等一些和图有关的矩阵的谱性质。在本文中,讨论了图的邻接矩阵谱性质的相关结论,主要涉及到图的邻接矩阵的零特征值,最小特征值,谱半径以及正负特征值的平方和。具体内容如下。在第二章中,讨论了在Wang等人给出的零度上下界|V（G）|-2m（G）-c（G）≤η（G）≤|V（G）|-2m（G）+2c（G）中的取值情况,证明了没有图的零度可以取到|V（G）|-2m（G）+2c（G）-1,也就是最大零度减一,并且可以构造无限多的图使得图的零度可以取遍除|V（G）|-2m（G）+2c（G）-1之外所有的值。在第三章中,主要讨论了在n个点n+k条边的连通图中最小特征值达到最小的图,这里5≤k≤8。该问题源于Petrovic等人在2011年的一个结论,他们刻画了 n个点n+k条边的连通图中最小特征值达到最小的图,这里0≤k≤4,本章的结论是对Petrovic等人的结论的一个推广。在第四章中,依据图的分支形成的序列给出了星形图中的图的谱半径排序。这里星形图是图类FH（υ）,n={H（υ）·T|T∈其中H（υ）·T表示由图H和图T通过把图H中的点v与图T的根点做黏合运算得到的图,STn表示由n+1个点的星形树和路组成的图类。该问题源于在2018年Oliveira等人给出的一个结论,他们依据星形树的分支形成的序列给出了星形树的一个谱半径排序,本章的结论是对Oliveira等人的结论的一个推广。无论是Oliveira等人的结论还是第四章中的研究内容,核心思想都是Jacobs和Trevisan等人设计的可以定位树的邻接矩阵特征值的算法。在第五章中,讨论了有关图的邻接矩阵正负特征值平方和的一些结论。本章的初衷是尝试解决Elphick等人在2016年提出的一个著名的猜想:对于一个n个点的连通图G,有min{S-（G）,S+（G）}≥n-1成立。我们证明了对于所有秩是4的图该猜想都是成立的,并进一步的证明对大部分秩是5的图也是成立的,最后给出了一些正特征值平方和的相关结论。在第六章中,对本文做了总结和展望,并提出了几个后续可以继续研究的问题。
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