随着多媒体技术的发展以及图像获取设备的普及,图像已经成为人类传递信息的重要载体之一。然而在图像的获取、传输与存储过程中,由于受到采集方式不当或传输干扰等因素的影响,获取到的图像可能存在一定的数据缺失,这给以图像为基础的后续工作等带来了不便,所以需要对图像中缺失的信息进行修复,以改善图像的视觉效果。为应对图像的缺失类型各异这个问题,相应地种类的修复方法被接连提出。本文在研究这些方法的基础上,重点研究了基于低秩表示的图像修复方法。此类方法大多通过核范数来对图像的低秩性进行建模,即利用核范数对不同奇异值进行同等程度惩罚,这导致图像的细节信息无法很好的保留。为解决上述问题,本文做了以下改进工作:1.提出一种基于非凸低秩矩阵填充的图像修复方法。基于低秩矩阵填充的图像修复方法大多以秩函数进行建模,由于矩阵的秩函数是非凸离散的,该模型的求解是一个NP-hard问题,所以通常利用矩阵核范数来对秩函数进行凸松弛。但是,在真实数据恢复中,这种凸松弛的解可能与原始问题的解存在一定差距。已有研究表明,与核范数相比,某些非凸函数能够更好的近似秩函数,即所求得解与原始问题解的差距更小。因此我们利用log函数来近似低秩矩阵填充模型中的秩函数。此外,由于目标函数的非凸性,模型很难直接求解。为此,我们通过泰勒展开来线性逼近log函数,并且利用交替方向乘子法来对新模型进行求解。实验结果表明,本文算法能较好地修复图像,保持图像的主要信息,即无论在视觉效果还是定量指标上都具有一定的优势。2.提出一种基于非凸低秩张量填充的图像修复方法。在实际应用中,需要修复的彩色图像是三维的,即可以利用张量的形式来对其进行表示。虽然基于矩阵填充的修复算法已经成熟,但将张量展开成矩阵进行图像修复的做法破坏了图像本身的结构,所以我们进一步提出了基于低秩张量填充的图像修复算法。该算法的难点在于张量秩的定义不唯一,其中包括CP-秩、Tucker-秩以及基于t-SVD分解定义的管秩等。本文结合张量t-SVD分解和Tucker-秩分解的优点,提出一种基于低秩张量填充的图像修复算法。由前述低秩矩阵填充的算法可知,利用核范数来对秩函数进行凸松弛,获得的解可能与原始问题的解存在一定差距,所以为缩小这种差距,这里我们仍然用log函数来逼近低秩张量填充模型中的秩函数。为了高效求解,利用交替方向乘子法将原问题分解为多个子问题进行求解。实验结果表明,该算法的性能效果较好。总的来说,本文在基于图像自身内在低秩性的基础上,研究了基于log函数建模的图像修复算法。通过构建非凸低秩矩阵填充算法和非凸低秩张量填充算法,来着重解决核范数对不同奇异值进行同等程度惩罚这一关键问题。实验结果表明,本文提出的算法能够获得比多数现有图像修复算法更好的结果。