称一个连通空间X为cut(n)空间，如果对于X中任一势为自然数n的有限子集D有XD不连通，同时对于D的任一真子集C都有XC连通.Cut(1)空间和cut(2)空间也分别称为cut空间和cut*空间.　　本文得到下列结论:具有序关系(但X不是LOTS)的cut(1)空间中的点均为强cut点.若n≥2，那么cut(n)空间是Hausdorff空间.若X是cut(2)空间，则有下列结论:　　(1)X是紧空间当且仅当X是局部紧空间;　　(2)若X是紧空间，那么X是局部连通空间.　　若X是局部紧空间，那么对任一n≥3有X不是cut(n)空间.本文指出存在着这样的一类空间X∶X中存在一个势大于等于3的有限子集D使得XD不连通且对于D中任一真子集C都有XC连通.文章给出了当x∈D且D具有上述性质时单点集{x}是开集或者闭集的充分条件.　　本文还讨论了连通空间中H-set及H(i)空间的性质.得到如果Y是cut(1)空间X中势大于等于2的H-set，那么Y至少存在两点a、b使得Y(c)Aa∪{a}与Y(c)Bb∪{b}，其中Aa与Bb分别是X{a}与X{b}的一个分离集.如果D是H(i)连通空间X的一个有限子集，那么AD∪D是H(i)的，其中AD是XD的一个分离集且对于D中任一真子集C有XC连通.　　最后，本文证明了COTS中任一点的闭包的势小于等于3;证明了具有端点的连通空间中任一cut点的闭包的势小于等于3以及任一端点的闭包最多包含除该端点外的一点.