在本研究中，我们应用随机过程理论研究了几种随机介质结构中波传播的频散性质。用随机微分方程中的光滑化理论深入探讨了随机介质中波的频谱、相速度、群速度以及衰减指数同衡量介质随机性的标准方差和相关长度之间的关系。具体的结果如下：　　 1.研究了含有随机分布的疲劳损伤的细杆的频散属性。采用了Hikata非线性应力应变的模型，并且将该模型中的材料常数转换为随机变量来考虑介质的损伤或者非均质的随机性。采用了摄动法来线性化这个非线性方程。采用了Liouville变换来将含有多个随机变量的微分方程变为单随机变量的微分方程。然后，一阶光滑化近似法被用来求解这个方程。最后，求出了适用于整个频域的格林函数以及一个封闭形式的频散方程，得到了损伤因子同相速度以及圆频率之间的关系。随后我们应用数值方法求解了这个方程。计算结果表明，对于一个给定的波数来说，当损伤因子增加的时候，相速度将会降低；而对于一个给定的损伤因子来说，当圆频率增加的时候，相速度将会逐步趋近于不含有损伤的介质中的相速度。通过对比前人的研究结果，发现损伤因子与材料内部随机损伤的体积分数以及密度密切相关。另外还发现了在频谱图中存在截止波数，且这个截止波数随着损伤因子的增长而增长。　　 2.首次发现在一个统计均匀各向同性的半空间中存在水平剪切表面波(SHSW)。我们用一阶光滑化方法仔细地分析和研究了仅在深度方向或者表面密随机密度的半空间的频散特性，得到了频散方程，然后采用数值方法画出了频散曲线。我们发现，当波数小于某一个值时，相速度始终为0；而当波数大于这个值时，相速度就将大于0，并逐渐地趋近于一个渐近值。这个波数可以称之为含有随机密度的半空间的SHSW的截止波数。　　 3.研究了含有随机密度的无限空间、自由板以及固支板中波的频散性质。通过应用随机微分方程的理论，得到了闭形式的频散方程，然后利用数值方法求解了该频散方程并绘出了随机自由板的频谱图、相速度图、群速度图等。在频谱图以及相速度图中，观察到截止频率和截止波数。给出了随机板中波的频散属性对相关长度以及标准方差的依赖关系式。当随机非均质的标准方差给定为0.55时，研究结果表明随机板的相速度和群速度的渐近速度都将比非随机板的相应渐近速度低20％左右。这说明应用随机的方法处理含有变化较大的随机非均质介质中的波传播问题是非常有必要的。　　 在这个研究中应用的Liouville随机变量变换法也可以推广到多变量波动方程的问题以及其他类似的问题。本研究中发现的随机波的频散特性可用于声波测试的逆问题研究，它们对地质勘探以及材料的无损检测都将可能产生推动作用。