随着自由曲线曲面造型技术的日渐成熟,非均匀有理B样条（NURBS）已经成为工业产品几何形状的标准表示。等几何分析（IGA）把用于表示几何的基函数用于分析,避免了传统有限元（FEA）耗时的网格化。由于NURBS网格的张量积结构,几何建模中会引入大量的多余控制点,并且基于NURBS的IGA无法对曲面进行局部细分,于是出现了很多定义在T网格上的可局部细分样条。在实际应用中,常常需要对三维实体进行建模和分析。虽然三维层次T网格上的三次C1样条（三维PHT样条）有非常好的数学性质,但由于光滑性不到次数的一半,导致自由度增长太快。这促使我们去探索三维T网格上的高光滑阶（光滑性大于等于次数的一半）样条空间,遗憾的是,目前仍没有适合应用的显式维数公式。本文探讨了三维层次T网格上的二次C1样条,它和三维PHT样条有同样的光滑性,却有更小的自由度。首先,本文探讨了以上样条空间的维数。我们使用线性空间嵌入法将维数问题转化为求一组线性约束的秩。充分利用线性约束所嵌入的几何信息,我们得到了某种特殊三维层次T网格上样条空间的维数下界。再通过空间的直和分解,可以得到了一般三维层次T网格上样条空间的维数下界。然后,我们引入了与三维层次T网格对应的三维十字点关系网格（三维CVR网格）。在三维CVR网格没有三维洞的情况下,我们通过定义一个序得到了三维层次T网格上样条空间的维数公式,它只涉及网格的拓扑量。另外,我们还借助三维CVR网格给出了维数公式的拓扑解释。其次,本文利用维数的拓扑解释构造了样条空间的一组基函数。若三维层次T网格上的任意平面T网格没有洞,且三维CVR网格没有三维洞,可以证明维数恰好等于三维CVR网格的胞腔数。在围绕三维CVR网格的胞腔构造基函数时,会发现有些情形下的胞腔在三维T网格中没有对应的基函数。但是当限制三维T网格的层次差小于等于1后,可以通过枚举法证明每个胞腔都对应一个基函数。在以上3种限制条件下,我们给出了网格的自适应细分算法和基函数的构造过程。最后,本文给出了两个应用——隐式曲面重建和隐式体上的偏微分方程（PDE）数值求解。在隐式曲面重建中,通过极小化一个二次能量函数,可以得到单片无多余分支的隐式样条曲面,实验结果显示它是点云的潜在曲面的有效逼近。在偏微分方程数值解中,我们借用加权拓展B样条方法（WEB方法）的思想给出了求解三维Possion问题的框架,无需网格化也无需参数化,初步实验结果显示我们的方法有效。总而言之,本文受三维应用和理论缺乏的启发,首次证明了一类高光滑阶样条空间的维数,然后构造了一组基函数,并以两个三维应用来验证该样条在局部细分上的表现。