空间尺度（以下简称为尺度）以及尺度转换问题是地球系统科学中的热点问题，而由于地球系统科学结构的复杂性和观测的不可重现性，使得尺度问题成为研究的难点。无论对地观测、模拟还是数据同化，因为尺度转换所引起的不确定性都引起了相关领域学者的高度重视。尺度转换问题包括两层含义，首先是观测足迹或模型单元代表性空间的几何变换，其次是附属于该代表性空间上的地表要素因为状态分布的异质性和动力过程的尺度变异性而伴随这种几何变换产生的不确定性。因此，对于尺度转换理论来讲，空间变换和变异性的表述缺一不可。　　传统的尺度研究将尺度简化为一维的长度或使用研究对象为基准划分尺度（如孔隙尺度、冠层尺度、流域尺度等），前者因为其信息携带能力不足的问题会引起新的不确定性;而后者存在着无法在逻辑论证过程中显式引入尺度因素的问题。这些研究对于尺度变化对地表要素观测结果的影响、对地表过程建模的影响以及对尺度本身的理解，并没有十分显著的进展。究其原委，认为这是缺乏一个严格准确的尺度定义，并且不能在对地观测和模拟研究中显式地引入尺度因素。　　数据同化作为地球系统科学的一个新的研究范式，利用观测技术和动力模型的优势，对陆地表层系统的一个或多个关键要素进行更加真实的重建、模拟与预报，成为认知地表科学的一个捷径。数据同化系统主要由预报算子、观测算子、系统状态和观测构成，而数据同化方法负责更新系统状态以及融入新的观测数据等。观测误差是状态向量、观测算子以及观测向量之间相互作用的集中体现，在假设观测算子线性的条件下，观测误差可被拆分为各要素向量的自相关部分、互相关部分等。然而由于需要将多源观测数据融入数据同化系统中，观测数据和系统状态之间普遍存在尺度不匹配的问题，这在线性假设的条件下是不可估测的。而随着随机数据同化研究的发展，使得给系统状态构建一个无限的连续的全概率采样空间成为可能。因此使用非线性的随机数据同化就成为研究尺度转换的必要条件和理想工具。　　本研究针对目前尺度问题研究的不足，在严格合理的数学理论框架下给出尺度以及尺度转换的概念;借助数据同化系统进行尺度转换建模，一方面建立数据同化中与尺度转换相关的不确定性的深入认知，另一方面论证尺度转换理论的解释能力;之后通过两个具体的实例，即代表性误差的计算机模拟和随机辐射传输模型的尺度转换建模，进一步阐述数据同化的尺度转换理论及其应用价值。　　首先引入了研究尺度问题的数学理论基础。包括测度论（测度、测度空间、Lebesgue积分等）和随机微积分（随机过程、伊藤过程、鞅与马尔可夫过程、伊藤引理、Girsanov定理等）的基础概念和定理。并在微积分的范畴内将随机性模型与传统模型进行了比较。这些理论将尺度及尺度转换、数据同化等地球系统科学的概念纳入一个严谨的数学框架内，是之后理论论证、建模和应用的合理、严格的保证。　　基于测度论定义尺度是观测足迹或模型单元的Lebesgue测度，而尺度转换则是不同尺度间在二维实数空间的Lebesgue积分变换。在空间几何的意义下，尺度代表观测足迹或模型单元的形状与大小，而尺度转换则是这些观测或模拟的代表性空间的几何变换。同时将二维实数集R2中的单位区间上Lebesgue积分为1的尺度定义为标准尺度，标准尺度可作为尺度集合的参考基准单元和起点。又将二维空间的尺度转换简化为具有一维准则的转换，它是一组具有几何相似性的尺度所遵从的转换规则，符合大多数具有不同空间分辨率的遥感影像数据之间的尺度转换。这是尺度转换理论的第一个方面:空间变换。　　根据尺度及尺度转换理论建立了依赖于尺度的地表要素伊藤过程，其确定性部分的构建需要考虑地表要素在不同尺度下的空间异质性和动力过程的变化，而随机性部分则与基于尺度的布朗运动有关。这是尺度转换理论的第二个方面:尺度变异性。　　这种尺度问题的认知是通过对尺度、尺度转换和地表要素过程的分别定义，将空间性和变异性这两个方面结合起来。另一种尺度问题的定义则从整体入手，借助随机微积分中的Girsanov定理和鞅过程，重新组织观测或模拟方式，将地表要素转化为具有尺度不变性的过程。　　基于Bayes数据同化的理论框架，进一步将第一种基于Lebesgue积分的尺度转换理论应用到随机数据同化中，考虑分析阶段系统状态从状态空间到观测空间的映射过程并对该过程建立尺度转换模型。结果证明，尺度转换理论适用于数据同化中参数变量在不同运行空间映射过程的建模，并能够定量表述与尺度转换有关的代表性误差。模型说明，代表性误差的数学期望与观测、尺度转换到观测空间的系统状态以及非线性观测算子的一阶微分项有关，而其方差正比于观测空间和状态空间的尺度差异。　　基于数据同化中的尺度转换模型，进一步模拟了随机数据同化中的代表性误差并验证了该模型的解释能力。结果表明，尺度转换理论可以很好地为随机模拟的结果所验证，但其解释范围是有限的。当依赖于尺度的随机噪音超过一定临界值时，尺度转换理论将不适用于地表要素建模。而如何确定这一临界值尚需进一步研究。　　随机辐射传输模型是研究随机模型尺度效应的一个较理想的工具。通过引入随机辐射传输模型作为随机的观测算子，研究了地表要素实体（辐射强度）的随机表达以及在数据同化尺度转换过程中的演进。但这一研究目前无论是在理论上还是模拟实验中都存在更大的挑战性，是今后尺度转换理论研究的重点。　　总体而言，本研究将地球系统科学中的尺度及尺度转换问题和测度论、随机微积分等理论严格对应起来，保证了逻辑概念的一致性和地学应用的合理性，改进了对尺度问题的认知并预留了这种认知的扩展性。