图像作为一种直观、便捷的反映现实世界的媒介,被广泛应用于多媒体、数字医疗、人工智能等领域。在众多的实际应用中,人们需要清晰、高质量的图像,因此去除图像噪声、提高图像质量等图像处理工作具有非常重要的意义。本文利用正倒向扩散方程建立图像去噪和图像增强模型,根据偏微分方程理论分析模型的性质,设计偏微分方程数值算法,实现正倒向扩散方程模型在图像去噪和图像增强中的作用,并与现有算法作比较。主要研究内容如下:针对加性噪声去除问题,本文提出一个由非凸泛函和线性增长凸泛函组成的变分模型框架,并且基于该变分模型框架提出一类正倒向扩散方程用于图像去噪。由于需要考虑方程的间断解,本文引入Young测度理论证明弱解的存在性,并在一定条件下论证Young测度解的唯一性、稳定性以及极值原理和比较原理,并最终论证Young测度解的渐近性。数值方面,本文提出基于PM方法的数值格式和AOS格式得到两种高效数值算法。此外,本文提出一种新的图像处理优劣性衡量标准——边界相似度,该评价标准更接近人眼的真实感受。实验结果表明,新模型既可以避免TV模型的阶梯效应,又可以避免PM模型的斑点效应,而且在加强边界方面也有很好的效果。针对乘性去噪问题,本文首先根据乘性噪声的特点构造灰度探测算子作为指示器,进而得到自适应的全变差正则项,之后引入一个全局凸的拟合项并最终得到基于灰度探测算子的自适应全变差乘性去噪模型。在理论方面,本文论证该模型变分问题解的存在唯一性和比较原理。由于变分问题对应的演化方程具有奇性,本文通过对初值进行正则化,并利用p-Laplace流近似全变差流,得到演化方程解的存在唯一性和渐近性。数值实验方面,本文提出全变差数值格式和p-Laplace近似数值格式得到两种不同的去噪算法。此外,本文利用平衡参数的动态计算公式减少数值算法所需的参数以提高计算效率。与其他经典模型相比,新模型无论在视觉效果还是在图像衡量指标上都优于其他模型。针对图像增强问题,鉴于传统相干增强扩散滤波(CED)模型虽然能够较好地连接纹理结构,但也会导致图像对比度下降,本文通过引入源项解决CED模型上述缺点并进一步增强指纹图像中的纹理结构。同时,本文所提出的模型也能够有效的恢复带有Gauss噪声的指纹图像。在理论方面,由于方程是非线性的,本文利用Schauder不动点定理证明带有源项的CED方程弱解的存在性,并论证解的唯一性。为了控制源项,本文引入调节参数,并讨论该参数的作用。在数值方面,本文首先设计传统数值差分格式,之后在此基础上引入快速显格式扩散加速去噪算法。实验结果表明,与原始CED模型相比,新模型能够高效的恢复指纹图像,并显著增强其中的纹理结构。最后,本文提出具源项的正倒向扩散图像分割模型。