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本文主要研究R3上Kirchhoff方程和Kirchhoff系统解的存在性和渐近行为.主要工作分为以下四个部分.首先,考虑一类 Kirchhoff 方程的多解性:-（a+b∫R3丨▽u丨2dx）△u+u=丨u丨p-2u,u∈H1（R3）,其中a>0,b≥0,2<p<6.通过构造一个新的Pohozaev型变分恒等式和约束集,我们证明了方程径向对称解的存在性以及非径向对称解的存在性.此外,非径向对称解u（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.其次,对于一类波动系统的稳定态情形 u,v∈H1（R3）,通过建立变分恒等式和约束集,我们证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0以及满足2<Q:=p+q<6的p,q>1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=p/Q丨u丨p-2u丨v丨q,-a2△v+v=q/Q丨u丨p丨v丨q-2v,u,v ∈Hr1（R3）.接下来,对于线性耦合的Kirchhoff型系统 u,v∈H1（R3）,证明了对于as>0,bs≥0（s=1,2）,d≥0,b1+b2+d≠0,2<p<6,以及0<λ<1,该系统有一个基态解,一个径向对称解以及一个非径向对称解.并且,非径向对称解u（x1,x2,x3）及v（x1,x2,x3）关于（x1,x2）是径向对称的,关于x3是奇函数.对于取定的a1>0和a2>0,当b12+b22+d2→0,径向对称解收敛到下面系统的径向对称解-a1△u+u=丨u丨p-2u+λv,-a2△v+v=丨v丨p-2v+λu,u,v∈Hr1（R3）.最后,通过建立一个新的变分约束,证明了a1>0,a2>0;b1>0,b2>0,d≥0;α>1,β>1满足2<α+β=p<6;对于适当的λ,系统存在一个基态解（u,v）∈H1（R3）×H1（R3）,u>0,v>0.这一结果推广了 Lin和Wei（Commun.Math.Phys.255（2005）,629-653）及 Sirakov（Commun.Math.Phys.271（2007）,199-221）的部分成果.当a1=a2及b1=b2,还研究了几种特殊形式解的存在性和不存在性.
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